Seja
, esboce as partes real e imaginária de
para
Passo 1
O enunciado dá a função complexa
e pede que se esbocem as partes real e imaginária para
.
Informações dadas:
-
. -
(constante real). -
é a frequência angular (constante real).
O que se pede: - Esboçar (desenhar mentalmente / descrever) a parte real de
. - Esboçar a parte imaginária de
.
Passo 2
Transformar a expressão usando propriedades de exponenciais e a fórmula de Euler.
Propriedade de exponenciais: para números complexos,
. Aplicando a
,
Fórmula de Euler: para todo
real vale
Usando isso com
obtemos:
Passo 3
Extrair as partes real e imaginária multiplicando pelo fator real
.
Substituindo a fórmula de Euler em
,
Portanto:
Explicando o significado de cada símbolo:
-
controla o crescimento/exponenciação da amplitude. Como , o fator cresce quando aumenta. -
é a frequência angular; o período das oscilações é . -
e são funções oscilatórias que fazem as partes real e imaginária oscilar entre valores positivos e negativos.
Passo 4
Como esboçar a parte real
passo a passo (modo prático para desenhar na prova):
- Desenhe os eixos: eixo horizontal
e eixo vertical (amplitude). - Trace as curvas de envelope superior e inferior:
e . São exponenciais crescentes à medida que aumenta (porque ); para ambas tendem a . - Marque o período na escala do tempo:
. Os picos da cosenoide ocorrem em com altura . Os vales (mínimos) ocorrem em com altura . - Entre os picos e vales, desenhe uma oscilação suave que toca a envelope superior e inferior nos pontos apropriados. Em
a parte real vale . - Observe que para
a amplitude vai a zero: as oscilações ficam cada vez menores à esquerda; para as oscilações crescem exponencialmente à direita.
Passo 5
Como esboçar a parte imaginária
passo a passo:
- Use os mesmos eixos e as mesmas curvas de envelope
e . - A sinusoide tem o mesmo período
, mas está defasada em em relação à cossenoide: . - Zeros da parte imaginária ocorrem em
. Máximos positivos em com altura . Mínimos em com altura . - Em
a parte imaginária vale . Para a amplitude das oscilações tende a ; para cresce exponencialmente.
Passo 6
Observações úteis e dicas rápidas para a prova (resumo mental):
- Ambas as partes (real e imaginária) são oscilações sinusoidais multiplicadas por um envelope exponencial
. - Como
, o envelope é crescente para crescente — as oscilações “ampliam” para a direita. - Posições-chave para marcar:
(real , imag ), períodos e meias-ondulações com as fórmulas dadas acima. - Se
apenas muda o sinal da parte imaginária (porque é par e é ímpar); a forma geral do esboço com envelope continua a mesma, possivelmente refletida verticalmente na parte imaginária.
Resposta
Parte real:
\n
Parte imaginária:
Parte imaginária: