Seja y(t)=e^{(\sigma+j \omega) t}, esboce as partes real e imaginária de y(t) para
\sigma>0

Passo 1

O enunciado dá a função complexa y(t)=e^{(\sigma+j\omega)t} e pede que se esbocem as partes real e imaginária para \sigma>0.
Informações dadas:
  • y(t)=e^{(\sigma+j\omega)t}.
  • \sigma>0 (constante real).
  • \omega é a frequência angular (constante real).
    O que se pede:
  • Esboçar (desenhar mentalmente / descrever) a parte real de y(t).
  • Esboçar a parte imaginária de y(t).

Passo 2

Transformar a expressão usando propriedades de exponenciais e a fórmula de Euler.
Propriedade de exponenciais: para números complexos, e^{a+b}=e^a e^b. Aplicando a y(t),
y(t)=e^{(\sigma+j\omega)t}=e^{\sigma t}\,e^{j\omega t}.
Fórmula de Euler: para todo \theta real vale
e^{j\theta}=\cos(\theta)+j\sin(\theta).
Usando isso com \theta=\omega t obtemos:
e^{j\omega t}=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t).

Passo 3

Extrair as partes real e imaginária multiplicando pelo fator real e^{\sigma t}.
Substituindo a fórmula de Euler em y(t),
y(t)=e^{\sigma t}\bigl(\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)\bigr).
Portanto:
\text{Parte real: }\Re\{y(t)\}=e^{\sigma t}\cos(\omega t),
\text{Parte imaginária: }\Im\{y(t)\}=e^{\sigma t}\sin(\omega t).á
Explicando o significado de cada símbolo:
  • \sigma controla o crescimento/exponenciação da amplitude. Como \sigma>0, o fator e^{\sigma t} cresce quando t aumenta.
  • \omega é a frequência angular; o período das oscilações é T=\dfrac{2\pi}{\omega}.
  • \cos(\omega t) e \sin(\omega t) são funções oscilatórias que fazem as partes real e imaginária oscilar entre valores positivos e negativos.

Passo 4

Como esboçar a parte real e^{\sigma t}\cos(\omega t) passo a passo (modo prático para desenhar na prova):
  1. Desenhe os eixos: eixo horizontal t e eixo vertical (amplitude).
  2. Trace as curvas de envelope superior e inferior: +e^{\sigma t} e -e^{\sigma t}. São exponenciais crescentes à medida que t aumenta (porque \sigma>0); para t\to -\infty ambas tendem a 0.
  3. Marque o período na escala do tempo: T=\dfrac{2\pi}{\omega}. Os picos da cosenoide ocorrem em t=\dfrac{2\pi k}{\omega} com altura +e^{\sigma t}. Os vales (mínimos) ocorrem em t=\dfrac{(2k+1)\pi}{\omega} com altura -e^{\sigma t}.
  4. Entre os picos e vales, desenhe uma oscilação suave que toca a envelope superior e inferior nos pontos apropriados. Em t=0 a parte real vale e^{\sigma\cdot 0}\cos(0)=1.
  5. Observe que para t\to -\infty a amplitude vai a zero: as oscilações ficam cada vez menores à esquerda; para t\to+\infty as oscilações crescem exponencialmente à direita.

Passo 5

Como esboçar a parte imaginária e^{\sigma t}\sin(\omega t) passo a passo:
  1. Use os mesmos eixos e as mesmas curvas de envelope +e^{\sigma t} e -e^{\sigma t}.
  2. A sinusoide tem o mesmo período T=\dfrac{2\pi}{\omega}, mas está defasada em \tfrac{\pi}{2} em relação à cossenoide: \sin(\omega t)=\cos(\omega t-\tfrac{\pi}{2}).
  3. Zeros da parte imaginária ocorrem em t=\dfrac{k\pi}{\omega}. Máximos positivos em t=\dfrac{(4k+1)\pi}{2\omega} com altura +e^{\sigma t}. Mínimos em t=\dfrac{(4k+3)\pi}{2\omega} com altura -e^{\sigma t}.
  4. Em t=0 a parte imaginária vale 0. Para t\to -\infty a amplitude das oscilações tende a 0; para t\to +\infty cresce exponencialmente.

Passo 6

Observações úteis e dicas rápidas para a prova (resumo mental):
  • Ambas as partes (real e imaginária) são oscilações sinusoidais multiplicadas por um envelope exponencial e^{\sigma t}.
  • Como \sigma>0, o envelope é crescente para t crescente — as oscilações “ampliam” para a direita.
  • Posições-chave para marcar: t=0 (real =1, imag =0), períodos e meias-ondulações com as fórmulas dadas acima.
  • Se \omega<0 apenas muda o sinal da parte imaginária (porque \cos é par e \sin é ímpar); a forma geral do esboço com envelope continua a mesma, possivelmente refletida verticalmente na parte imaginária.

Resposta

Parte real: \Re\{y(t)\}=e^{\sigma t}\cos(\omega t)\n
Parte imaginária: \Im\{y(t)\}=e^{\sigma t}\sin(\omega t)

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