Seja
, esboce as partes real e imaginária de
para
Passo 1
O enunciado dá
e pede que eu esboce as partes real e imaginária para
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Devemos tomar
. - O que se pede: as curvas/plots das partes real e imaginária de
em função de .
Passo 2
Substituo
em
. Então
Passo 3
Aplico a fórmula de Euler (identidade clássica que liga exponencial complexa a seno e cosseno):
onde
é a unidade imaginária (
) e
é um ângulo. Essa identidade pode ser vista como consequência das séries de Taylor de
,
e
ou a partir da solução da equação diferencial
.
Usando
obtém-se a decomposição de
:
Passo 4
Portanto as partes real e imaginária são
Explicando o que isso significa, de forma bem prática:
- Ambas são funções periódicas (oscilatórias) com amplitude
. - A frequência angular é
(unidade: rad/s). O período é
e a frequência temporal (ciclos por segundo) é
.
- A função
tem valor máximo em . A função tem valor em e está subindo (derivada positiva) nesse instante — isto é, e têm a mesma forma, deslocadas em fase de : .
Passo 5
Dou alguns pontos-chave (úteis para desenhar à mão sem calculadora). Seja
. Então para os instantes
temos
e os valores:
- Para
: -
- Para
: -
Esses pontos mostram como traçar os dois sinais num mesmo eixo de tempo: cosseno começa em
, seno começa em
e atinge
a um quarto do período.
Passo 6
Como esboçar na prática (passo a passo):
- Desenhe o eixo horizontal rotulado por
e o eixo vertical com amplitude (de a ). - Marque um comprimento
no eixo . - Para
: comece em em , passe por em , em , 0 em , e volte a em . Ligue suavemente esses pontos com uma curva senoidal (padrão cosseno). - Para
: comece em em , atinja em , 0 em , em , e 0 em . Novamente ligue suavemente com uma curva senoidal (padrão seno). - Indique que ambas têm amplitude
, mesmo período , e que a curva do cosseno está adiantada em em relação ao seno (ou o seno atrasa em relação ao cosseno).
Passo 7
Visualização alternativa (útil para intuir): pense num vetor de comprimento
girando no plano complexo com velocidade angular
. A projeção desse vetor no eixo real é
e no eixo imaginário é
. Para
a rotação é anti-horária; para
é horária — em qualquer caso as projeções seguem as mesmas formas senoidais com período
.
Passo 8
Exemplo concreto rápido: escolha
(isso dá
). Então
- Em
: . - Em
: . - Em
: . - Esses pontos já permitem esboçar os dois sinais ao longo de um segundo.