Seja y(t)=e^{(\sigma+j \omega) t}, esboce as partes real e imaginária de y(t) para
\sigma=0

Passo 1

O enunciado dá \displaystyle y(t)=e^{(\sigma+j\omega)t} e pede que eu esboce as partes real e imaginária para \sigma=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é y(t)=e^{(\sigma+j\omega)t}.
  • Devemos tomar \sigma=0.
  • O que se pede: as curvas/plots das partes real e imaginária de y(t) em função de t.

Passo 2

Substituo \sigma=0 em y(t). Então
y(t)=e^{(0+j\omega)t}=e^{j\omega t}.

Passo 3

Aplico a fórmula de Euler (identidade clássica que liga exponencial complexa a seno e cosseno):
e^{j\theta}=\cos(\theta)+j\sin(\theta),
onde j é a unidade imaginária ( j^2=-1) e \theta é um ângulo. Essa identidade pode ser vista como consequência das séries de Taylor de e^{x}, \cos x e \sin x ou a partir da solução da equação diferencial y' = j y.
Usando \theta=\omega t obtém-se a decomposição de y(t):
e^{j\omega t}=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t).

Passo 4

Portanto as partes real e imaginária são
\text{Re}\{y(t)\}=\cos(\omega t), \qquad \text{Im}\{y(t)\}=\sin(\omega t).
Explicando o que isso significa, de forma bem prática:
  • Ambas são funções periódicas (oscilatórias) com amplitude 1.
  • A frequência angular é \omega (unidade: rad/s). O período é
T=\frac{2\pi}{\omega},
e a frequência temporal (ciclos por segundo) é f=\dfrac{\omega}{2\pi}.
  • A função \cos(\omega t) tem valor máximo +1 em t=0. A função \sin(\omega t) tem valor 0 em t=0 e está subindo (derivada positiva) nesse instante — isto é, \cos e \sin têm a mesma forma, deslocadas em fase de \tfrac{\pi}{2}: \cos(\omega t)=\sin(\omega t+\tfrac{\pi}{2}).

Passo 5

Dou alguns pontos-chave (úteis para desenhar à mão sem calculadora). Seja T=\dfrac{2\pi}{\omega}. Então para os instantes \,t=0,\;t=\tfrac{T}{4},\;t=\tfrac{T}{2},\;t=\tfrac{3T}{4},\;t=T temos \omega t=0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi e os valores:
  • Para \text{Re}\{y(t)\}=\cos(\omega t):
    • \cos(0)=1
    • \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0
    • \cos(\pi)=-1
    • \cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0
    • \cos(2\pi)=1
  • Para \text{Im}\{y(t)\}=\sin(\omega t):
    • \sin(0)=0
    • \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1
    • \sin(\pi)=0
    • \sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=-1
    • \sin(2\pi)=0
Esses pontos mostram como traçar os dois sinais num mesmo eixo de tempo: cosseno começa em 1, seno começa em 0 e atinge 1 a um quarto do período.

Passo 6

Como esboçar na prática (passo a passo):
  • Desenhe o eixo horizontal rotulado por t e o eixo vertical com amplitude (de -1 a +1).
  • Marque um comprimento T=\dfrac{2\pi}{\omega} no eixo t.
  • Para \text{Re}\{y(t)\}=\cos(\omega t): comece em +1 em t=0, passe por 0 em t=\tfrac{T}{4}, -1 em t=\tfrac{T}{2}, 0 em t=\tfrac{3T}{4}, e volte a +1 em t=T. Ligue suavemente esses pontos com uma curva senoidal (padrão cosseno).
  • Para \text{Im}\{y(t)\}=\sin(\omega t): comece em 0 em t=0, atinja +1 em t=\tfrac{T}{4}, 0 em t=\tfrac{T}{2}, -1 em t=\tfrac{3T}{4}, e 0 em t=T. Novamente ligue suavemente com uma curva senoidal (padrão seno).
  • Indique que ambas têm amplitude 1, mesmo período T, e que a curva do cosseno está adiantada em \tfrac{\pi}{2} em relação ao seno (ou o seno atrasa \tfrac{\pi}{2} em relação ao cosseno).

Passo 7

Visualização alternativa (útil para intuir): pense num vetor de comprimento 1 girando no plano complexo com velocidade angular \omega. A projeção desse vetor no eixo real é \cos(\omega t) e no eixo imaginário é \sin(\omega t). Para \omega>0 a rotação é anti-horária; para \omega<0 é horária — em qualquer caso as projeções seguem as mesmas formas senoidais com período T=\dfrac{2\pi}{|\omega|}.

Passo 8

Exemplo concreto rápido: escolha \omega=2\pi (isso dá T=1). Então
\text{Re}\{y(t)\}=\cos(2\pi t),\qquad \text{Im}\{y(t)\}=\sin(2\pi t).
  • Em t=0: \text{Re}=1,\\ \text{Im}=0.
  • Em t=0,25: \text{Re}=0,\\ \text{Im}=1.
  • Em t=0,5: \text{Re}=-1,\\ \text{Im}=0.
  • Esses pontos já permitem esboçar os dois sinais ao longo de um segundo.

Resposta

\text{Re}\{y(t)\}=\cos(\omega t)
\text{Im}\{y(t)\}=\sin(\omega t)

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