Determinar o modelo dinâmico no tempo e funções de transferência G_{3}(s)=\frac{X_{3}(s)}{F(s)}
Passo 1
O que o problema pede:
Determinar o modelo dinâmico no tempo (equações diferenciais de movimento) para os três graus de liberdade x_1(t),x_2(t),x_3(t).
Determinar a função de transferência \;G_{3}(s)=\dfrac{X_{3}(s)}{F(s)}\; (onde F(s) é a transformada de Laplace da força externa f(t) aplicada à massa M_2).
Essas três equações são o modelo dinâmico no tempo (sistema de EDOs acopladas) solicitado.
Passo 4
Transformada de Laplace (condições iniciais nulas) para obter as equações algébricas em s. Notação: \mathcal L\{\ddot x_i\}=s^2 X_i(s), \mathcal L\{\dot x_i\}=s X_i(s).
Das equações do passo anterior obtemos:
(1)
(2 s^2 + 3 s + 4)X_1(s) - 2 X_2(s) - 2 s X_3(s) = 0.
(2)
-2 X_1(s) + (2 s^2 + 3 s + 2)X_2(s) - 2 s X_3(s) = F(s).
(3)
-2 s X_1(s) - 2 s X_2(s) + (3 s^2 + 4 s)X_3(s) = 0.
Escrevendo em forma matricial \mathbf{A}(s)\mathbf{X}(s)=\mathbf{b}(s) com \mathbf{X}=[X_1,X_2,X_3]^T e \mathbf{b}=[0,F(s),0]^T.
Passo 5
Cálculo de G_3(s)=\dfrac{X_3(s)}{F(s)} por regra de Cramer (mais direto aqui porque \mathbf{b} tem só uma componente não nula).
Matriz dos coeficientes:
\mathbf{A}(s)= \begin{pmatrix} 2 s^2 + 3 s + 4 & -2 & -2 s \\\\ -2 & 2 s^2 + 3 s + 2 & -2 s \\\\ -2 s & -2 s & 3 s^2 + 4 s \end{pmatrix}.