Determinar o modelo dinâmico no tempo e funções de transferência
G_{3}(s)=\frac{X_{3}(s)}{F(s)}

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar o modelo dinâmico no tempo (equações diferenciais de movimento) para os três graus de liberdade x_1(t),x_2(t),x_3(t).
  • Determinar a função de transferência \;G_{3}(s)=\dfrac{X_{3}(s)}{F(s)}\; (onde F(s) é a transformada de Laplace da força externa f(t) aplicada à massa M_2).
Informações dadas (peguei da figura / enunciado):
  • Massas: \;M_1=M_2=2\\ \text{kg},\; M_3=3\\ \text{kg}.
  • Amortecedores verticais (para o contato com o solo): \;f_{v1}=f_{v2}=1\\ \text{Ns/m}.
  • Amortecedores entre a massa superior e as inferiores: \;f_{v3}=f_{v4}=2\\ \text{Ns/m}.
  • Molas: \;K_1=K_2=2\\ \text{N/m}.
  • Coordenadas: \;x_1(t) para M_1, \;x_2(t) para M_2, \;x_3(t) para M_3.
  • Força externa f(t) aplicada horizontalmente em M_2 (direção positiva para a direita).

Passo 2

Construção das equações de movimento: identificação das forças em cada massa e sinalização.
Regras de sinal (convenção): positiva para a direita. Para cada massa aplica-se a segunda lei de Newton: \; \sum F = m \ddot x.
Forças sobre M_1:
  • mola com parede à esquerda: força restauradora \; -K_1 x_1.
  • mola entre M_1 e M_2: força sobre M_1 é \;K_2(x_2-x_1) (puxa M_1 para direita se x_2>x_1).
  • amortecedor para o chão: \; -f_{v1}\dot x_1.
  • amortecedor entre M_3 e M_1: força sobre M_1 é \; f_{v3}(\dot x_3 - \dot x_1).
Somando:
M_1\ddot x_1 = -K_1 x_1 + K_2(x_2-x_1) - f_{v1}\dot x_1 + f_{v3}(\dot x_3 - \dot x_1).
Forças sobre M_2:
  • mola entre M_1 e M_2: força sobre M_2 é \;K_2(x_1-x_2).
  • amortecedor para o chão: \; -f_{v2}\dot x_2.
  • amortecedor entre M_3 e M_2: \; f_{v4}(\dot x_3 - \dot x_2).
  • força externa: +f(t).
Somando:
M_2\ddot x_2 = K_2(x_1-x_2) - f_{v2}\dot x_2 + f_{v4}(\dot x_3 - \dot x_2) + f(t).
Forças sobre M_3 (apenas amortecedores que ligam M_3 a M_1 e M_2):
  • amortecedor com M_1: \; -f_{v3}(\dot x_3 - \dot x_1) (age contra a velocidade relativa).
  • amortecedor com M_2: \; -f_{v4}(\dot x_3 - \dot x_2).
Somando:
M_3\ddot x_3 = -f_{v3}(\dot x_3 - \dot x_1) - f_{v4}(\dot x_3 - \dot x_2).

Passo 3

Colocando as equações na forma canônica (termos coletados) e substituindo os valores numéricos dados.
Para M_1:
\begin{split} M_1\ddot x_1 + (f_{v1}+f_{v3})\dot x_1 + (K_1+K_2)x_1 - K_2 x_2 - f_{v3}\dot x_3 &= 0. \end{split}
Substituindo \;M_1=2,\;f_{v1}=1,\;f_{v3}=2,\;K_1=2,\;K_2=2:
\boxed{\,2\ddot x_1 + 3\dot x_1 + 4 x_1 - 2 x_2 - 2\dot x_3 = 0\,}
Para M_2:
M_2\ddot x_2 + (f_{v2}+f_{v4})\dot x_2 + K_2 x_2 - K_2 x_1 - f_{v4}\dot x_3 = f(t).
Substituindo \;M_2=2,\;f_{v2}=1,\;f_{v4}=2,\;K_2=2:
\boxed{\,2\ddot x_2 + 3\dot x_2 + 2 x_2 - 2 x_1 - 2\dot x_3 = f(t)\,}
Para M_3:
M_3\ddot x_3 + (f_{v3}+f_{v4})\dot x_3 - f_{v3}\dot x_1 - f_{v4}\dot x_2 = 0.
Substituindo \;M_3=3,\;f_{v3}=f_{v4}=2:
\boxed{\,3\ddot x_3 + 4\dot x_3 - 2\dot x_1 - 2\dot x_2 = 0\,}
Essas três equações são o modelo dinâmico no tempo (sistema de EDOs acopladas) solicitado.

Passo 4

Transformada de Laplace (condições iniciais nulas) para obter as equações algébricas em s. Notação: \mathcal L\{\ddot x_i\}=s^2 X_i(s), \mathcal L\{\dot x_i\}=s X_i(s).
Das equações do passo anterior obtemos:
(1)
(2 s^2 + 3 s + 4)X_1(s) - 2 X_2(s) - 2 s X_3(s) = 0.
(2)
-2 X_1(s) + (2 s^2 + 3 s + 2)X_2(s) - 2 s X_3(s) = F(s).
(3)
-2 s X_1(s) - 2 s X_2(s) + (3 s^2 + 4 s)X_3(s) = 0.
Escrevendo em forma matricial \mathbf{A}(s)\mathbf{X}(s)=\mathbf{b}(s) com \mathbf{X}=[X_1,X_2,X_3]^T e \mathbf{b}=[0,F(s),0]^T.

Passo 5

Cálculo de G_3(s)=\dfrac{X_3(s)}{F(s)} por regra de Cramer (mais direto aqui porque \mathbf{b} tem só uma componente não nula).
Matriz dos coeficientes:
\mathbf{A}(s)= \begin{pmatrix} 2 s^2 + 3 s + 4 & -2 & -2 s \\\\ -2 & 2 s^2 + 3 s + 2 & -2 s \\\\ -2 s & -2 s & 3 s^2 + 4 s \end{pmatrix}.
Pelo teorema de Cramer:
X_3(s)=\frac{\Delta_3(s)}{\Delta(s)}\quad\text{onde }\Delta(s)=\det \mathbf{A}(s)
e \Delta_3(s) é o determinante obtido substituindo a terceira coluna por [0,F(s),0]^T.
Como a terceira coluna substituída tem só elemento não nulo em linha 2, temos (expansão por cofactor):
\Delta_3(s)= -F(s)\cdot \det \begin{pmatrix} 2 s^2 + 3 s + 4 & -2 \\\\ -2 s & -2 s \end{pmatrix}.
Calculando esse menor:
\det\begin{pmatrix} a & b\\\ c & d\end{pmatrix} = a d - b c,
portanto
\det\begin{pmatrix} 2 s^2 + 3 s + 4 & -2 \\\\ -2 s & -2 s \end{pmatrix} = (2 s^2 + 3 s + 4)(-2 s) - (-2)(-2 s).
Fazendo as contas:
= -2 s(2 s^2 + 3 s + 4) - 4 s = -\big(4 s^3 + 6 s^2 + 12 s\big).
Então
\Delta_3(s) = -F(s)\cdot\big(-\big(4 s^3 + 6 s^2 + 12 s\big)\big) = F(s)\big(4 s^3 + 6 s^2 + 12 s\big).
Agora calculamos \Delta(s)=\det\mathbf{A}(s). Expandindo o determinante (cálculo detalhado dos termos):
  • Primeiro termo (multiplicando a_{11} pelo menor correspondente) gera
(2 s^2 + 3 s + 4)\big( (2 s^2 + 3 s + 2)(3 s^2 + 4 s) - (-2 s)(-2 s) \big)
que, após multiplicações, dá
12 s^6 + 52 s^5 + 103 s^4 + 126 s^3 + 80 s^2 + 32 s.
  • Segundo termo (com a_{12}=-2) contribui com
- a_{12}\big( a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\big) = -(-2)\big( -10 s^2 -8 s\big) = -20 s^2 -16 s.
  • Terceiro termo (com a_{13}=-2 s) contribui com
a_{13}\big( a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\big) = -2 s\big(4 s^3 + 6 s^2 + 8 s\big) = -8 s^4 -12 s^3 -16 s^2.
Somando todas as contribuições:
\Delta(s)=12 s^6 +52 s^5 +95 s^4 +114 s^3 +44 s^2 +16 s.
Portanto
\frac{X_3(s)}{F(s)}=\frac{\Delta_3(s)}{\Delta(s)} =\frac{4 s^3 +6 s^2 +12 s}{12 s^6 +52 s^5 +95 s^4 +114 s^3 +44 s^2 +16 s}.
Podemos cancelar o fator comum s (transfer function com cancelamento trivial em s=0 se desejarmos), obtendo a forma mais compacta:
\boxed{\,G_3(s)=\dfrac{X_3(s)}{F(s)} =\dfrac{4 s^2 +6 s +12}{12 s^5 +52 s^4 +95 s^3 +114 s^2 +44 s +16}\,.}
Essa é a função de transferência pedida (grau do denominador 5, grau do numerador 2).

Resposta

\begin{aligned} &\text{Equações no tempo:}\\[4pt] &\;2\ddot x_1 + 3\dot x_1 + 4 x_1 - 2 x_2 - 2\dot x_3 = 0,\\[4pt] &\;2\ddot x_2 + 3\dot x_2 + 2 x_2 - 2 x_1 - 2\dot x_3 = f(t),\\[4pt] &\;3\ddot x_3 + 4\dot x_3 - 2\dot x_1 - 2\dot x_2 = 0. \end{aligned}çõ
\boxed{\,G_3(s)=\dfrac{X_3(s)}{F(s)} =\dfrac{4 s^2 +6 s +12}{12 s^5 +52 s^4 +95 s^3 +114 s^2 +44 s +16}\,}]

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