Seja
uma solução da EDO não-linear
onde
é uma função contínua que não depende de
ou da variável independente
. Considere
como uma primitiva de
, istpo é,
. Mostre que a quantidade
é constante, ou seja,
. Use isto para resolver:
.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial ordinária (EDO) para uma função
:
onde
é contínua e não depende de
nem de
. Define-se
como uma primitiva de
, isto é,
Pede-se duas coisas:
- Mostrar que a quantidade
é constante ao longo de
, ou seja, provar que
.
2) Usar esse resultado para resolver a EDO específica
2) Usar esse resultado para resolver a EDO específica
As informações relevantes que temos são: a forma da EDO
, a existência de uma primitiva
tal que
, e a definição de
. Não há condições iniciais dadas, então devemos obter uma integral de primeira ordem (constante de energia) e, a partir dela, a solução geral em quadratura; se possível, mostrar um caso explícito.
Passo 2
Vamos provar que
é constante, calculando sua derivada e explicando cada passo. Primeiro, lembrando notação e regras:
-
é a derivada de em relação a . -
é a derivada segunda. - Se
, pela regra da cadeia temos .
Agora calculemos
. Começamos escrevendo
de novo:
Derivando termo a termo:
- A derivada de
em relação a usa a regra da cadeia ou produto: . (Porque se , .) - A derivada de
pela regra da cadeia é . Mas , então isso é .
Portanto,
Fatorando
,
Como
é solução da EDO dada, temos
. Substituindo isso no parêntese obtemos zero, logo
Concluímos que
, ou seja,
é constante ao longo de
. Vamos chamar essa constante de
:
Isso é uma integral primeira (reduzimos a ordem da EDO de 2 para 1).
Passo 3
Agora aplicamos isso ao caso concreto
. Aqui
. Precisamos de uma primitiva
tal que
. Uma primitiva conveniente é
pois
. (Podemos sempre adicionar uma constante à primitiva, mas essa constante pode ser absorvida na constante
do lado direito da integral primeira, então escolhemos
para simplificar.)
Usando a integral primeira obtida no passo anterior, temos
onde
é constante (a “energia”).
Passo 4
Reescrevemos a relação para isolar
:
Tomando raiz quadrada (duas possibilidades de sinal),
Isto é uma equação de primeira ordem separável. Separamos variáveis:
Integrando ambos os lados obtemos a solução em quadratura (implícita):
onde
é outra constante de integração. Essa integral, em geral, é uma integral elíptica (não elementar) porque tem a forma
. Portanto a solução geral, em termos elementares, fica nessa forma integral; inversas dessas integrais dão funções elípticas (por exemplo funções de Weierstrass).
Passo 5
Para entender melhor e ter pelo menos um caso explícito que possamos anotar na prova, vejamos o caso especial
. Então a relação reduz a
Escolhendo o sinal positivo (o negativo dá solução análoga com troca de sinal de
),
Separe e integre:
Calcule a integral do lado esquerdo. Usamos a regra
quando
. Aqui
, então
Integrando ambos os lados:
com
constante de integração. Dividindo por
,
Chamando
obtemos
Elevando ao quadrado e invertendo:
Se tivéssemos escolhido o sinal negativo nas raízes, o resultado seria a mesma forma com
trocado por
, que é apenas outra constante de translação: no fim, para
a família de soluções é
com
constante arbitrária (a diferença de sinal é absorvida em
). Note que esta solução tem singularidade (polo) em
, o que é natural para equações com potência positiva de
.