Foi dada a sugestão: se y é solução, tomar y=\dfrac{v}{x^{2}}. Em seguida, com esse fato, usar para resolver a equação não-homogênea
x^{2} y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}+\left(2+x^{2}\right) y=x^{2},\quad x>0.
Informações relevantes: domínio x>0; objetivo 1 — encontrar duas soluções independentes do tipo pedido (formar uma base); objetivo 2 — obter a solução geral da equação não-homogênea.
Passo 2
Vamos aplicar a sugestão: faça a substituição
y(x)=\frac{v(x)}{x^{2}}.
Primeiro precisamos das derivadas de y. Usando a regra do produto (ou da divisão) e derivadas de potências, calculamos passo a passo.
que têm exatamente a forma pedida com \psi_{1}(x)=\cos x e \psi_{2}(x)=\sin x.
Passo 5
Agora mostramos que y_{1},y_{2} são linearmente independentes (formam uma base das soluções). Uma maneira rápida: o wronskiano de y_{1},y_{2} satisfaz, para y_{i}=u\psi_{i} com u=x^{-2},
W(y_{1},y_{2}) = u^{2} W(\psi_{1},\psi_{2}).
Aqui u=x^{-2} não é zero para x>0. Para \psi_{1}=\cos x,\\ \psi_{2}=\sin x temos
W(\cos x,\sin x)=\begin{vmatrix}\cos x & \sin x\\\\ -\sin x & \cos x\end{vmatrix} = \cos^{2}x+\sin^{2}x =1.
portanto y_{1},y_{2} são linearmente independentes e formam uma base do espaço de soluções da equação homogênea.
Passo 6
Agora usemos esse fato para resolver a equação não-homogênea
x^{2} y'' + 4 x y' + (2+x^{2})y = x^{2}.
Pela transformação anterior, a equação para v fica
v'' + v = x^{2}.
Então reduzimos a resolver uma EDO com segundo membro polinomial.
Para resolver v''+v=x^{2} usamos coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados). Como o segundo membro é um polinômio de grau 2, tentamos uma solução particular da forma
v_{p}(x)=a x^{2}+b x + c,
onde a,b,c são constantes a determinar. Calcule
v_{p}''(x) = 2a.
Substituindo em v''+v=x^{2}:
2a + (a x^{2} + b x + c) = x^{2}.
Compare coeficientes do polinômio (igualdade de polinômios):
coeficiente de x^{2}: a=1.
coeficiente de x: b=0.
termo constante: 2a + c = 0 \Rightarrow 2\cdot1 + c =0 \Rightarrow c=-2.
Portanto
v_{p}(x) = x^{2} - 2.
Passo 7
A solução geral para v é a soma da solução complementar e da particular:
v(x) = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + x^{2} - 2.
Voltando à variável original y=v/x^{2}, obtemos a solução geral da equação não-homogênea: