Seja
a solução do problema de valor inicial
então
é:
(A)
(B)
(C) 4
(D) 2
(E)
(A)
(B)
(C) 4
(D) 2
(E)
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
.
O que é pedido:
- Calcular o valor de
.
Passo 2
Reconhecer a forma da equação e separar variáveis.
Uma equação é separável quando é possível escrever os termos em
multiplicando
de um lado e os termos em
multiplicando
do outro. Aqui podemos fazer isso diretamente. Escrevendo
, temos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos as variáveis separadas:
Explicação curta do passo: separar variáveis significa isolar todos os
com
e todos os
com
, para depois integrar cada lado em sua variável.
Passo 3
Integrar ambos os lados.
Integramos em relação às suas variáveis:
Calcule as integrais:
onde
é a constante de integração.
Aqui usei a fórmula básica da integral de uma potência:
e
.
Passo 4
Determinar a constante
usando a condição inicial
.
Substituindo
e
na expressão
:
Portanto a relação fica
Passo 5
Isolar
e escolher o ramo correto (sinal).
Multiplicando por
:
Tomando raiz quadrada:
Agora é preciso escolher o sinal. Como a condição inicial é
, a solução que passa por esse ponto deve ser contínua e ter valor positivo em
; portanto escolhemos o sinal positivo:
Observação didática: a condição inicial determina qual ramo da raiz é físico para a solução (a unicidade de solução garante que a solução que passa por
é única e contínua).
Passo 6
Calcular
substituindo
.
Substituindo em
:
Simplificando
: