Seja y(x) a solução do problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=\frac{2 x}{y} \\\ y(0)=2 \end{array}\right.
então y(2) é:
(A) 2 \sqrt{3}
(B) \sqrt{6}
(C) 4
(D) 2
(E) 2 \sqrt{2}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial:
  • Equação diferencial: y'=\dfrac{2x}{y}.
  • Condição inicial: y(0)=2.
O que é pedido:
  • Calcular o valor de y(2).

Passo 2

Reconhecer a forma da equação e separar variáveis.
Uma equação é separável quando é possível escrever os termos em y multiplicando dy de um lado e os termos em x multiplicando dx do outro. Aqui podemos fazer isso diretamente. Escrevendo y'=\dfrac{dy}{dx}, temos
\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{y}.
Multiplicando ambos os lados por y\,dx obtemos as variáveis separadas:
y\,dy = 2x\,dx.
Explicação curta do passo: separar variáveis significa isolar todos os y com dy e todos os x com dx, para depois integrar cada lado em sua variável.

Passo 3

Integrar ambos os lados.
Integramos em relação às suas variáveis:
\int y\,dy = \int 2x\,dx.
Calcule as integrais:
\frac{1}{2}y^{2} = x^{2} + C,
onde C é a constante de integração.
Aqui usei a fórmula básica da integral de uma potência: \int y\,dy = \dfrac{y^{2}}{2} e \int 2x\,dx = x^{2}.

Passo 4

Determinar a constante C usando a condição inicial y(0)=2.
Substituindo x=0 e y=2 na expressão \dfrac{1}{2}y^{2}=x^{2}+C:
\frac{1}{2}\cdot 2^{2}=0^{2}+C \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2}\cdot 4 = C \quad\Rightarrow\quad C=2.
Portanto a relação fica
\frac{1}{2}y^{2}=x^{2}+2.

Passo 5

Isolar y e escolher o ramo correto (sinal).
Multiplicando por 2:
y^{2}=2x^{2}+4.
Tomando raiz quadrada:
y=\pm\sqrt{2x^{2}+4}.
Agora é preciso escolher o sinal. Como a condição inicial é y(0)=2>0, a solução que passa por esse ponto deve ser contínua e ter valor positivo em x=0; portanto escolhemos o sinal positivo:
y(x)=\sqrt{2x^{2}+4}.
Observação didática: a condição inicial determina qual ramo da raiz é físico para a solução (a unicidade de solução garante que a solução que passa por (0,2) é única e contínua).

Passo 6

Calcular y(2) substituindo x=2.
Substituindo em y(x)=\sqrt{2x^{2}+4}:
y(2)=\sqrt{2\cdot 2^{2}+4}=\sqrt{2\cdot 4+4}=\sqrt{8+4}=\sqrt{12}.
Simplificando \sqrt{12}:
\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}.

Resposta

2\sqrt{3}

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