Sabendo que y(x) é solução do problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=18 x^{2} y^{2} \\\ y(0)=-1 \end{array}\right.
então y(2) é:
(A) -\frac{1}{18}
(B) -\frac{1}{47}
(C) -\frac{1}{36}
(D) -\frac{1}{51}
(E) -\frac{1}{49}

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados:
  • Equação diferencial ordinária (PVI): \displaystyle y'(x)=18\,x^{2}\,y(x)^{2}.
  • Condição inicial: y(0)=-1.
  • Pergunta: calcular o valor de y(2).
Informações relevantes extraídas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • Queremos o valor de y no ponto x=2.
  • A equação relaciona a derivada de y com uma função de x e de y (produto de 18x^{2} por y^{2}).

Passo 2

Idea de solução (explicação didática do método). Esta equação é do tipo em que se pode separar as variáveis: escrevemos os termos que contêm y de um lado e os que contêm x do outro, para integrar.
Conceito rápido (com exemplo mínimo):
  • Uma equação da forma \displaystyle \frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y) é separável. A técnica é reescrever como \displaystyle \frac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx e integrar ambos os lados.
  • Regra de integração que vamos usar: para n\neq-1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
No caso de y, trataremos \int y^{-2}\,dy aplicando a mesma regra com n=-2.
Observação importante para a prova: ao separar, não podemos dividir por algo que possa ser zero em pontos de interesse. Aqui dividiremos por y^{2}; como y(0)=-1\neq0, a separação é válida no intervalo que contém x=0 onde a solução é contínua.

Passo 3

Separe as variáveis da equação dada:
y' = 18x^{2}y^{2}
escrevendo y'=\dfrac{dy}{dx}, obtemos
\frac{dy}{dx}=18x^{2}y^{2}.
Agora coloque os termos com y de um lado e com x do outro:
\frac{dy}{y^{2}}=18x^{2}\,dx.

Passo 4

Integre ambos os lados. Integramos em y à esquerda e em x à direita:
\int \frac{dy}{y^{2}}=\int 18x^{2}\,dx.
Calcule cada integral usando a regra de potências:
  • À esquerda, \displaystyle \int y^{-2}\,dy=\frac{y^{-1}}{-1}=-\frac{1}{y}.
  • À direita, \displaystyle \int 18x^{2}\,dx=18\cdot\frac{x^{3}}{3}=6x^{3}.
Portanto a integração dá (introduzindo constante de integração C):
-\frac{1}{y}=6x^{3}+C.

Passo 5

Resolva para y em função de x. A partir de
-\frac{1}{y}=6x^{3}+C,
inverta ambos os lados (lembrando de isolar y):
y=-\frac{1}{6x^{3}+C}.
Essa é a solução geral (com constante C) adequada para o intervalo onde y\neq0.

Passo 6

Use a condição inicial y(0)=-1 para determinar C. Substitua x=0 e y(0)=-1 em
y(0)=-\frac{1}{6\cdot 0^{3}+C}=-\frac{1}{C}.
Portanto
-1=-\frac{1}{C}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{C}=1\quad\Rightarrow\quad C=1.

Passo 7

Substitua C=1 na solução geral para obter a solução particular:
y(x)=-\frac{1}{6x^{3}+1}.
Agora calcule y(2):
y(2)=-\frac{1}{6\cdot 2^{3}+1}=-\frac{1}{6\cdot 8+1}=-\frac{1}{48+1}=-\frac{1}{49}.

Passo 8

Verificação rápida (útil para a prova): derivando y(x)=- (6x^{3}+1)^{-1} obtém-se
y'(x)=18x^{2}\,(6x^{3}+1)^{-2}.
Como y(x)^{2}=(6x^{3}+1)^{-2}, temos y'(x)=18x^{2}y(x)^{2}, ou seja, a solução satisfaz a equação diferencial e a condição inicial já foi aplicada. Tudo consistente.
Pequena dica para a prova: sempre verifique se ao separar não se divide por algo que pode ser zero no ponto inicial; aqui era seguro porque y(0)=-1. Boa — você já tem um jeito claro de resolver separáveis na prova!

Resposta

-\dfrac{1}{49}

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