Sabendo que
é solução do problema de valor inicial
então
é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados:
- Equação diferencial ordinária (PVI):
. - Condição inicial:
. - Pergunta: calcular o valor de
.
Informações relevantes extraídas:
- A incógnita é a função
. - Queremos o valor de
no ponto . - A equação relaciona a derivada de
com uma função de e de (produto de por ).
Passo 2
Idea de solução (explicação didática do método). Esta equação é do tipo em que se pode separar as variáveis: escrevemos os termos que contêm
de um lado e os que contêm
do outro, para integrar.
Conceito rápido (com exemplo mínimo):
- Uma equação da forma
é separável. A técnica é reescrever como e integrar ambos os lados. - Regra de integração que vamos usar: para
,
No caso de
, trataremos
aplicando a mesma regra com
.
Observação importante para a prova: ao separar, não podemos dividir por algo que possa ser zero em pontos de interesse. Aqui dividiremos por
; como
, a separação é válida no intervalo que contém
onde a solução é contínua.
Passo 3
Separe as variáveis da equação dada:
escrevendo
, obtemos
Agora coloque os termos com
de um lado e com
do outro:
Passo 4
Integre ambos os lados. Integramos em
à esquerda e em
à direita:
Calcule cada integral usando a regra de potências:
- À esquerda,
. - À direita,
.
Portanto a integração dá (introduzindo constante de integração
):
Passo 5
Resolva para
em função de
. A partir de
inverta ambos os lados (lembrando de isolar
):
Essa é a solução geral (com constante
) adequada para o intervalo onde
.
Passo 6
Use a condição inicial
para determinar
. Substitua
e
em
Portanto
Passo 7
Substitua
na solução geral para obter a solução particular:
Agora calcule
:
Passo 8
Verificação rápida (útil para a prova): derivando
obtém-se
Como
, temos
, ou seja, a solução satisfaz a equação diferencial e a condição inicial já foi aplicada. Tudo consistente.
Pequena dica para a prova: sempre verifique se ao separar não se divide por algo que pode ser zero no ponto inicial; aqui era seguro porque
. Boa — você já tem um jeito claro de resolver separáveis na prova!