Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial e determine o intervalo na qual esta solução está definida.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=\frac{x\left(x^{2}+1\right)}{4 y^{3}} \\\ y(0)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial com:
  • Equação diferencial: y'=\dfrac{x\left(x^{2}+1\right)}{4\,y^{3}}.
  • Condição inicial: y(0)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
O que é pedido:
  1. Encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação e a condição inicial.
  2. Determinar o intervalo (ou os intervalos) de x nos quais essa solução está definida.

Passo 2

Observação sobre o tipo de equação e técnica a usar (explicação didática curta).
  • A equação tem a forma y' = g(x)\,h(y) com g(x)=\dfrac{x(x^2+1)}{4} dividido por y^3, ou, de forma mais explícita, um produto de função de x por função de y. Isso indica que a equação é separável, ou seja, podemos rearranjar as variáveis para colocar todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro, e então integrar.
  • Separar variáveis é uma técnica muito útil: a ideia é escrever y' como \dfrac{dy}{dx}, reorganizar para obter algo do tipo A(y)\,dy = B(x)\,dx e integrar ambos os lados.

Passo 3

Aplicando separação de variáveis (mostrar cada passo):
Escrevendo y'=\dfrac{dy}{dx} obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{x\left(x^{2}+1\right)}{4\,y^{3}}.
Multiplicando ambos os lados por 4\,y^{3}\,dx:
4\,y^{3}\,dy = x\left(x^{2}+1\right)\,dx.
Agora integramos ambos os lados (explicando as integrais que aparecem):
\int 4\,y^{3}\,dy = \int x\left(x^{2}+1\right)\,dx.
  • Esquerda: \int 4\,y^{3}\,dy = 4\cdot\frac{y^{4}}{4} = y^{4}. (Regra: \int y^{n} dy = \dfrac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.)
  • Direita: expandir x(x^{2}+1)=x^{3}+x e integrar termo a termo:
\int (x^{3}+x)\,dx = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é constante de integração.
Portanto a relação integrada é
y^{4}=\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{2}}{2}+C.

Passo 4

Determinar a constante usando a condição inicial:
  • Avaliando em x=0 e y(0)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}:
y(0)^{4}=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{4}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{4}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}.
  • Substituindo em y^{4}=\dfrac{x^{4}}{4}+\dfrac{x^{2}}{2}+C com x=0 obtém-se C=\dfrac{1}{4}.
Logo
y^{4}=\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{4}.

Passo 5

Simplificar a expressão obtida (álgebra):
Somando os termos do lado direito:
\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{4}=\frac{x^{4}+2x^{2}+1}{4}=\frac{(x^{2}+1)^{2}}{4}.
Portanto
y^{4}=\frac{(x^{2}+1)^{2}}{4}.

Passo 6

Extrair y a partir de y^{4} (atenção ao sinal):
  • Tomando a raiz quarta de ambos os lados, obtemos duas possibilidades de sinal:
y=\pm\sqrt{\frac{x^{2}+1}{2}},
porque \sqrt[4]{(x^{2}+1)^{2}/4}=\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{x^{2}+1}{2}}.
  • Agora usamos a condição inicial para escolher o sinal: em x=0 essa expressão dá y(0)=\pm\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Como a condição inicial é y(0)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}, devemos escolher o sinal negativo.
Assim a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x)=-\sqrt{\dfrac{x^{2}+1}{2}}.

Passo 7

Determinar o intervalo de definição da solução (explicação teórica e verificação):
  • A equação original tem a forma y'=\dfrac{x(x^{2}+1)}{4\,y^{3}}. A função do lado direito f(x,y)=\dfrac{x(x^{2}+1)}{4\,y^{3}} é contínua em regiões onde y\neq 0. Portanto a existência e unicidade local garantem solução única enquanto y(x) não atingir 0.
  • Para a solução encontrada temos |y(x)|=\sqrt{\dfrac{x^{2}+1}{2}}. Observe que x^{2}+1\ge 1 para todo x, então
|y(x)|\ge \sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}>0.
Logo y(x) nunca se anula para nenhum x\in\mathbb{R}; na verdade |y(x)| cresce sem restrições quando |x| aumenta.
  • Como a solução não encontra singularidade (denominador nulo) para nenhum x, ela existe e é válida para todos os x\in\mathbb{R}.
Portanto o intervalo maximal de definição é (-\infty,\infty).

Resposta

y(x)=-\sqrt{\dfrac{x^{2}+1}{2}}
Intervalo de definição: (-\infty,\infty)

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