Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial e determine o intervalo na qual esta solução está definida. \left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=\frac{x\left(x^{2}+1\right)}{4 y^{3}} \\\ y(0)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right.
Encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação e a condição inicial.
Determinar o intervalo (ou os intervalos) de x nos quais essa solução está definida.
Passo 2
Observação sobre o tipo de equação e técnica a usar (explicação didática curta).
A equação tem a forma y' = g(x)\,h(y) com g(x)=\dfrac{x(x^2+1)}{4} dividido por y^3, ou, de forma mais explícita, um produto de função de x por função de y. Isso indica que a equação é separável, ou seja, podemos rearranjar as variáveis para colocar todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro, e então integrar.
Separar variáveis é uma técnica muito útil: a ideia é escrever y' como \dfrac{dy}{dx}, reorganizar para obter algo do tipo A(y)\,dy = B(x)\,dx e integrar ambos os lados.
Passo 3
Aplicando separação de variáveis (mostrar cada passo):
Escrevendo y'=\dfrac{dy}{dx} obtemos
Tomando a raiz quarta de ambos os lados, obtemos duas possibilidades de sinal:
y=\pm\sqrt{\frac{x^{2}+1}{2}},
porque \sqrt[4]{(x^{2}+1)^{2}/4}=\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{x^{2}+1}{2}}.
Agora usamos a condição inicial para escolher o sinal: em x=0 essa expressão dá y(0)=\pm\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Como a condição inicial é y(0)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}, devemos escolher o sinal negativo.
Assim a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x)=-\sqrt{\dfrac{x^{2}+1}{2}}.
Passo 7
Determinar o intervalo de definição da solução (explicação teórica e verificação):
A equação original tem a forma y'=\dfrac{x(x^{2}+1)}{4\,y^{3}}. A função do lado direito f(x,y)=\dfrac{x(x^{2}+1)}{4\,y^{3}} é contínua em regiões onde y\neq 0. Portanto a existência e unicidade local garantem solução única enquanto y(x) não atingir 0.
Para a solução encontrada temos |y(x)|=\sqrt{\dfrac{x^{2}+1}{2}}. Observe que x^{2}+1\ge 1 para todo x, então