Calcule a derivada segunda.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada segunda da função dada. As informações fornecidas são:
- A função é
. - Aqui
é a variável independente. -
é a constante de Euler (número real aproximadamente igual a ), ou seja, trata-se de um fator constante multiplicando .
A tarefa: encontrar, a segunda derivada de em relação a .
Passo 2
Vamos lembrar duas regras de derivação que vamos usar (explicadas devagarinho):
Regra 1 — regra do fator constante:
O que isso diz na prática: podemos “puxar” constantes para fora da operação de derivar. Aqui
é um número que não depende de
.
Regra 2 — regra da potência (power rule):
No nosso caso o expoente é
, então a derivada de
é
.
Vou explicar o que cada símbolo significa: em
,
é a variável e
é o expoente; em
está a derivada de
em relação a
, isto é, a taxa de variação de
quando
muda.
Passo 3
Aplicamos a regra do fator constante (Regra 1) à função
. Aqui
é a constante
e
. Portanto:
Passo 4
Agora aplicamos a regra da potência (Regra 2) para
. Com
temos:
Substituindo em
obtemos:
Passo 5
Vamos derivar novamente para obter a segunda derivada. Temos
. Novamente
é uma constante (produto de constantes
e
), e a função restante é
. Usando a regra do fator constante:
E sabemos que
, pois a inclinação da reta
é
.
Passo 6
Portanto:
Interpretando: a segunda derivada é uma constante igual a
. Isso faz sentido:
é uma parábola (escalada por
), a segunda derivada de uma parábola
é
; aqui
, então
.
Passo 7
Dica rápida para prova (respira fundo): quando você vir algo como
, já sabe que
será simplesmente
vezes essa constante. Por exemplo, se
então
; se
então
.