Calcule a derivada segunda.
y=e x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada segunda da função dada. As informações fornecidas são:
  • A função é y = e x^{2}.
  • Aqui x é a variável independente.
  • e é a constante de Euler (número real aproximadamente igual a 2,718\ldots), ou seja, trata-se de um fator constante multiplicando x^{2}.
    A tarefa: encontrar y'', a segunda derivada de y em relação a x.

Passo 2

Vamos lembrar duas regras de derivação que vamos usar (explicadas devagarinho):
Regra 1 — regra do fator constante:
\text{Se } y(x) = c\cdot f(x)\text{ com }c\text{ constante, então }y'(x)=c\cdot f'(x).ã
O que isso diz na prática: podemos “puxar” constantes para fora da operação de derivar. Aqui c é um número que não depende de x.
Regra 2 — regra da potência (power rule):
\text{Se } f(x)=x^{n}\text{ com \(n\) real, então }f'(x)=n x^{n-1}.ã
No nosso caso o expoente é n=2, então a derivada de x^{2} é 2x.
Vou explicar o que cada símbolo significa: em \,x^{n}\,, x é a variável e n é o expoente; em f'(x) está a derivada de f em relação a x, isto é, a taxa de variação de f quando x muda.

Passo 3

Aplicamos a regra do fator constante (Regra 1) à função y = e x^{2}. Aqui e é a constante c e f(x)=x^{2}. Portanto:
y' = e\cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 4

Agora aplicamos a regra da potência (Regra 2) para \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr). Com n=2 temos:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
Substituindo em y' obtemos:
y' = e\cdot 2x = 2e x.

Passo 5

Vamos derivar novamente para obter a segunda derivada. Temos y' = 2e x. Novamente 2e é uma constante (produto de constantes 2 e e), e a função restante é x. Usando a regra do fator constante:
y'' = 2e \cdot \frac{d}{dx}(x).
E sabemos que \frac{d}{dx}(x)=1, pois a inclinação da reta y=x é 1.

Passo 6

Portanto:
y'' = 2e \cdot 1 = 2e.
Interpretando: a segunda derivada é uma constante igual a 2e. Isso faz sentido: y é uma parábola (escalada por e), a segunda derivada de uma parábola ax^{2} é 2a; aqui a=e, então y''=2e.

Passo 7

Dica rápida para prova (respira fundo): quando você vir algo como y = \text{constante}\times x^{2}, já sabe que y'' será simplesmente 2 vezes essa constante. Por exemplo, se y=3x^{2} então y''=6; se y=\pi x^{2} então y''=2\pi.

Resposta

y''=2e

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