Seja z = f(x^2, 3x + 1), onde f(u, v) é uma função de classe C^1 em R^2.
Expresse d z/d x em termos da derivadas parciais de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função composta . A gente precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Vamos precisar entender a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, identificamos que depende de duas variáveis intermediárias: e . Então, podemos reescrever como , onde e são funções de .

Passo 3

Agora, para encontrar , aplicamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia nos diz que:
Isso significa que a derivada total de em relação a é a soma das derivadas parciais de em relação a e , cada uma multiplicada pela derivada de e em relação a , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a derivada de em relação a :
Depois, a derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Simplificando, temos:

Resposta

Portanto, a derivada de em relação a é:

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