Seja z=f(x, y) uma função diferenciável no ponto (4,2) e considere os vetores
u=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \quad e \quad v=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
(a) Sabendo-se que D_{u} f(4,2)=1 e D_{v} f(4,2)=2, calcule f_{x}(4,2) e f_{y}(4,2).
(b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (4,2,4), onde f(4,2)=4.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (todas pegadas do enunciado):
  • A função z=f(x,y) é diferenciável no ponto (4,2).
  • Os vetores
u=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right), \qquad v=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
  • As derivadas direcionais no ponto (4,2) são
D_{u}f(4,2)=1, \qquad D_{v}f(4,2)=2.
  • Além disso foi dado que f(4,2)=4 e o enunciado pede:
    (a) calcular f_{x}(4,2) e f_{y}(4,2);
    (b) determinar a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (4,2,4).

Passo 2

Conceito útil: como a função é diferenciável, a derivada direcional de f na direção de um vetor unitário \mathbf{u}=(u_1,u_2) no ponto (x_0,y_0) é o produto escalar entre o gradiente e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot\mathbf{u}=f_x(x_0,y_0)u_1+f_y(x_0,y_0)u_2.
Aqui \nabla f(x_0,y_0)=(f_x(x_0,y_0),\,f_y(x_0,y_0)). Ou seja: a derivada direcional é uma combinação linear das derivadas parciais com os componentes do vetor direção. Vamos usar isso com \mathbf{u}=u e \mathbf{v}=v no ponto (4,2).

Passo 3

Aplicando a fórmula para u:
D_{u}f(4,2)=f_x(4,2)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+f_y(4,2)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=1.
Colocando fator comum \frac{\sqrt{2}}{2}:
\frac{\sqrt{2}}{2}\bigl(f_x(4,2)+f_y(4,2)\bigr)=1.
Multiplicando ambos os lados por \dfrac{2}{\sqrt{2}} (que é \sqrt{2}) obtemos a primeira equação simples:
f_x(4,2)+f_y(4,2)=\sqrt{2}.

Passo 4

Agora aplicando a fórmula para v:
D_{v}f(4,2)=f_x(4,2)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+f_y(4,2)\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=2.
Colocando fator comum \frac{\sqrt{2}}{2}:
\frac{\sqrt{2}}{2}\bigl(f_x(4,2)-f_y(4,2)\bigr)=2.
Multiplicando ambos os lados por \dfrac{2}{\sqrt{2}} (ou seja \sqrt{2}) obtemos a segunda equação:
f_x(4,2)-f_y(4,2)=2\sqrt{2}.

Passo 5

Agora temos um sistema linear em f_x(4,2)\) e \(f_y(4,2)\): \[\begin{cases} f_x+f_y=\sqrt{2},\\[4pt] f_x-f_y=2\sqrt{2}, \end{cases}
onde escrevo f_x\] e \(f_y como abreviação de f_x(4,2) e f_y(4,2) para simplificar a escrita. Soma as duas equações para eliminar f_y:
2f_x=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad f_x=\frac{3\sqrt{2}}{2}.
Substituindo f_x na primeira equação:
\frac{3\sqrt{2}}{2}+f_y=\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad f_y=\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.]

Passo 6

Interpretação didática rápida: f_x(4,2)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2} é a inclinação da superfície z=f(x,y) na direção do eixo x naquele ponto; f_y(4,2)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} é a inclinação na direção do eixo y. Com essas derivadas parciais podemos escrever o plano tangente.
Fórmula do plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) no ponto (x_0,y_0,f(x_0,y_0)):
z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0).

Passo 7

Aplicando a fórmula com x_0=4, y_0=2, f(4,2)=4, f_x(4,2)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2} e f_y(4,2)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, obtemos o plano tangente:
z=4+\frac{3\sqrt{2}}{2}(x-4)-\frac{\sqrt{2}}{2}(y-2).
Se quiser uma forma expandida, desenvolvendo os termos:
z=\frac{3\sqrt{2}}{2}\,x-\frac{\sqrt{2}}{2}\,y+\bigl(4-5\sqrt{2}\bigr).

Resposta

f_x(4,2)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2},\quad f_y(4,2)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}
z=4+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}(x-4)-\dfrac{\sqrt{2}}{2}(y-2)

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