Seja
uma função diferenciável no ponto
e considere os vetores
(a) Sabendo-se que
e
, calcule
e
.
(b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
, onde
.
(b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (todas pegadas do enunciado):
- A função
é diferenciável no ponto . - Os vetores
- As derivadas direcionais no ponto
são
- Além disso foi dado que
e o enunciado pede:
(a) calculare ;
(b) determinar a equação do plano tangente ao gráfico deno ponto .
Passo 2
Conceito útil: como a função é diferenciável, a derivada direcional de
na direção de um vetor unitário
no ponto
é o produto escalar entre o gradiente e
:
Aqui
. Ou seja: a derivada direcional é uma combinação linear das derivadas parciais com os componentes do vetor direção. Vamos usar isso com
e
no ponto
.
Passo 3
Aplicando a fórmula para
:
Colocando fator comum
:
Multiplicando ambos os lados por
(que é
) obtemos a primeira equação simples:
Passo 4
Agora aplicando a fórmula para
:
Colocando fator comum
:
Multiplicando ambos os lados por
(ou seja
) obtemos a segunda equação:
Passo 5
Agora temos um sistema linear em
onde escrevo
como abreviação de
e
para simplificar a escrita. Soma as duas equações para eliminar
:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 6
Interpretação didática rápida:
é a inclinação da superfície
na direção do eixo
naquele ponto;
é a inclinação na direção do eixo
. Com essas derivadas parciais podemos escrever o plano tangente.
Fórmula do plano tangente ao gráfico de
no ponto
:
Passo 7
Aplicando a fórmula com
,
,
,
e
, obtemos o plano tangente:
Se quiser uma forma expandida, desenvolvendo os termos: