QUESTÃO 9 - Escolha e calcule um (2 se for dupla; 3 se for trio) dentre os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\left(e^{x}+e^{-x}-2-x^{2}-\frac{x^{4}}{12}\right)}{x^{6}}\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left[\frac{\left(e^{x}+e^{-x}-2-x^{2}-\dfrac{x^{4}}{12}\right)}{x^{6}}\right].
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão envolve e^{x} e e^{-x}.
  • O limite é quando x tende a 0.
  • O numerador é e^{x}+e^{-x}-2-x^{2}-\dfrac{x^{4}}{12}.
  • O denominador é x^{6}.

Passo 2

Vamos lembrar a série de Taylor (desenvolvimento em série de potências) da função exponencial ao redor de 0. Para e^{x} vale:
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}+\frac{x^{5}}{120}+\frac{x^{6}}{720}+O(x^{7}),
onde O(x^{7}) significa termos de ordem igual ou superior a x^{7} (mais pequenos que x^{6} quando x\to 0). Cada termo tem a forma \dfrac{x^{n}}{n!}.
Para e^{-x} aplicamos a mesma série trocando x por -x:
e^{-x}=1-x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{5}}{120}+\frac{x^{6}}{720}+O(x^{7}).

Passo 3

Agora somamos as duas séries termo a termo para obter e^{x}+e^{-x}. Como os termos ímpares se cancelam, ficam apenas termos pares:
\begin{aligned} e^{x}+e^{-x} &= \bigl(1+x+\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{x^{3}}{6}+\tfrac{x^{4}}{24}+\tfrac{x^{5}}{120}+\tfrac{x^{6}}{720}+O(x^{7})\bigr)\\\ &\quad +\bigl(1-x+\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{x^{3}}{6}+\tfrac{x^{4}}{24}-\tfrac{x^{5}}{120}+\tfrac{x^{6}}{720}+O(x^{7})\bigr)\\\ &= 2 + x^{2} + \frac{x^{4}}{12} + \frac{x^{6}}{360} + O(x^{7}). \end{aligned}
Aqui calculei os coeficientes pares assim:
  • Coeficiente de x^{2}: \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1.
  • Coeficiente de x^{4}: \tfrac{1}{24}+\tfrac{1}{24}=\tfrac{1}{12}.
  • Coeficiente de x^{6}: \tfrac{1}{720}+\tfrac{1}{720}=\tfrac{1}{360}.

Passo 4

Substituo essa soma no numerador e faço as subtrações indicadas:
\begin{aligned} e^{x}+e^{-x}-2-x^{2}-\frac{x^{4}}{12} &= \left(2 + x^{2} + \frac{x^{4}}{12} + \frac{x^{6}}{360} + O(x^{7})\right) -2 -x^{2} -\frac{x^{4}}{12}\\\ &= \frac{x^{6}}{360} + O(x^{7}). \end{aligned}
Ou seja, todos os termos de ordem menor que x^{6} cancelaram exatamente, restando o termo principal \dfrac{x^{6}}{360} mais termos de ordem mais alta.

Passo 5

Divido pelo denominador x^{6} e tomo o limite quando x\to 0:
\frac{e^{x}+e^{-x}-2-x^{2}-\dfrac{x^{4}}{12}}{x^{6}} = \frac{\dfrac{x^{6}}{360}+O(x^{7})}{x^{6}} = \frac{1}{360} + O(x).
Ao fazer x\to 0, o termo O(x) tende a 0. Portanto o limite é \dfrac{1}{360}.

Resposta

\dfrac{1}{360}

Exercícios relacionados