QUESTÃO 9 - Escolha e calcule um (2 se for dupla; 3 se for trio) dentre os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão envolve
e . - O limite é quando
tende a . - O numerador é
. - O denominador é
.
Passo 2
Vamos lembrar a série de Taylor (desenvolvimento em série de potências) da função exponencial ao redor de
. Para
vale:
onde
significa termos de ordem igual ou superior a
(mais pequenos que
quando
). Cada termo tem a forma
.
Para
aplicamos a mesma série trocando
por
:
Passo 3
Agora somamos as duas séries termo a termo para obter
. Como os termos ímpares se cancelam, ficam apenas termos pares:
Aqui calculei os coeficientes pares assim:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
Passo 4
Substituo essa soma no numerador e faço as subtrações indicadas:
Ou seja, todos os termos de ordem menor que
cancelaram exatamente, restando o termo principal
mais termos de ordem mais alta.
Passo 5
Divido pelo denominador
e tomo o limite quando
:
Ao fazer
, o termo
tende a
. Portanto o limite é
.