QUESTÃO 9 - Escolha e calcule um (2 se for dupla; 3 se for trio) dentre os seguintes limites: \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\left(\cos (\mathrm{x})-\left(1-\frac{x^{2}}{2}\right)+\ln \left(1+x^{2}\right)\right)}{x^{4}}\right]
A expressão é uma fração cujo numerador é \cos(x)-\bigl(1-\tfrac{x^{2}}{2}\bigr)+\ln(1+x^{2}).
O ponto de interesse é x\to 0.
Não há mais informações numéricas; é preciso usar desenvolvimento da função em torno de 0 para avaliar o comportamento da fração.
Passo 2
Estratégia para resolver (sem fazer contas ainda):
Quando se tem um limite com potências altas no denominador, a técnica direta e mais prática é usar séries de Taylor (expansões em potências de x ao redor de 0) das funções que aparecem no numerador, até a ordem suficiente para comparar com x^{4}.
Vou explicar o que é expansão de Taylor e o que significam os termos que vou usar, porque isso é essencial para a prova e para entender por que dá certo.
Explicação rápida (didática) sobre Taylor e notação O(\cdot):
A expansão de Taylor de uma função f em torno de 0 é uma soma de monômios em x que aproxima f quando x é pequeno. Por exemplo, escrever
significa que a diferença entre f(x) e os primeiros termos é, em módulo, no máximo da ordem de x^{n+1} quando x\to 0. O símbolo O(x^{n+1}) indica um resto que é proporcional a x^{n+1} ou menor, quando x\to0.
Na prática, para avaliar a divisão por x^{4} precisamos conhecer os termos até x^{4} no numerador; termos de ordem superior serão O(x^{6}) e não influenciam o comportamento principal ao dividir por x^{4}.
Passo 3
Expansão de \cos(x) em torno de 0 (fórmula padrão de Taylor):
Explicando os coeficientes: o termo constante é \cos(0)=1; a derivada primeira em 0 é 0 (por isso não há termo em x); a derivada segunda vale -1 e dá -x^{2}/2!; a quarta derivada contribui com x^{4}/4!=x^{4}/24. O resto é O(x^{6}) porque os próximos termos são de ordem x^{6} e superiores.
Passo 4
Expansão de \ln(1+x^{2}) em torno de 0. Usamos a série de \ln(1+u) com u=x^{2}:
Observação didática: é importante ver que o termo em x^{2} NÃO foi cancelado — ele veio todo de \ln(1+x^{2}). Isso controla o comportamento da fração ao dividir por x^{4}.]
Passo 7
Dividindo a expansão do numerador por x^{4} (que é o que aparece no limite):
O termo \dfrac{1}{x^{2}} domina a expressão e cresce sem limite positivo quando x\to 0 (porque x^{2}>0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to +\infty).
Os outros termos são limitados (-\tfrac{11}{24} é constante e O(x^{2})\to 0) e não anulam a divergência do termo \dfrac{1}{x^{2}}.
Passo 8
Conclusão (explicada de forma clara e amigável): como a expressão se comporta como \dfrac{1}{x^{2}} quando x\to 0, o quociente aumenta sem limite positivo. Em linguagem de limite, a expressão diverge para +\infty.
Força aí — faltam poucos dias e essa técnica de expandir funções até a ordem necessária é uma das mais úteis para provas com limites do tipo “polinômio no denominador”. Treina alguns exercícios parecidos trocando funções (por exemplo trocar \ln(1+x^{3}) ou \cos x por \sin x) para fixar.