QUESTÃO 9 - Escolha e calcule um (2 se for dupla; 3 se for trio) dentre os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\left(\cos (\mathrm{x})-\left(1-\frac{x^{2}}{2}\right)+\ln \left(1+x^{2}\right)\right)}{x^{4}}\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left[\frac{\cos(x)-\left(1-\frac{x^{2}}{2}\right)+\ln\left(1+x^{2}\right)}{x^{4}}\right].
Informações dadas (explicitadas):
  • A expressão é uma fração cujo numerador é \cos(x)-\bigl(1-\tfrac{x^{2}}{2}\bigr)+\ln(1+x^{2}).
  • O ponto de interesse é x\to 0.
  • Não há mais informações numéricas; é preciso usar desenvolvimento da função em torno de 0 para avaliar o comportamento da fração.

Passo 2

Estratégia para resolver (sem fazer contas ainda):
  • Quando se tem um limite com potências altas no denominador, a técnica direta e mais prática é usar séries de Taylor (expansões em potências de x ao redor de 0) das funções que aparecem no numerador, até a ordem suficiente para comparar com x^{4}.
  • Vou explicar o que é expansão de Taylor e o que significam os termos que vou usar, porque isso é essencial para a prova e para entender por que dá certo.
Explicação rápida (didática) sobre Taylor e notação O(\cdot):
  • A expansão de Taylor de uma função f em torno de 0 é uma soma de monômios em x que aproxima f quando x é pequeno. Por exemplo, escrever
f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots + a_n x^n + O(x^{n+1})
significa que a diferença entre f(x) e os primeiros termos é, em módulo, no máximo da ordem de x^{n+1} quando x\to 0. O símbolo O(x^{n+1}) indica um resto que é proporcional a x^{n+1} ou menor, quando x\to0.
  • Na prática, para avaliar a divisão por x^{4} precisamos conhecer os termos até x^{4} no numerador; termos de ordem superior serão O(x^{6}) e não influenciam o comportamento principal ao dividir por x^{4}.

Passo 3

Expansão de \cos(x) em torno de 0 (fórmula padrão de Taylor):
\cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+O(x^{6}).
Explicando os coeficientes: o termo constante é \cos(0)=1; a derivada primeira em 0 é 0 (por isso não há termo em x); a derivada segunda vale -1 e dá -x^{2}/2!; a quarta derivada contribui com x^{4}/4!=x^{4}/24. O resto é O(x^{6}) porque os próximos termos são de ordem x^{6} e superiores.

Passo 4

Expansão de \ln(1+x^{2}) em torno de 0. Usamos a série de \ln(1+u) com u=x^{2}:
\ln(1+u)=u-\frac{u^{2}}{2}+\frac{u^{3}}{3}+O(u^{4})\quad\text{quando }u\to0.
Substituindo u=x^{2} obtemos
\ln(1+x^{2})=x^{2}-\frac{x^{4}}{2}+O(x^{6}).
Aqui o termo dominante é x^{2}; o próximo é -\tfrac{x^{4}}{2}; restos são da ordem x^{6}.

Passo 5

Agora escrevo o numerador usando as expansões obtidas.
Primeiro calcule \cos(x)-\left(1-\frac{x^{2}}{2}\right) usando a expansão da \cos:
\cos(x)-\left(1-\frac{x^{2}}{2}\right)=\left(1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+O(x^{6})\right)-\left(1-\frac{x^{2}}{2}\right).
Cancelam-se 1 e -\tfrac{x^{2}}{2}, restando
\cos(x)-\left(1-\frac{x^{2}}{2}\right)=\frac{x^{4}}{24}+O(x^{6}).

Passo 6

Somando com \ln(1+x^{2}) (peguei a expansão de \ln(1+x^{2}) do Passo 4):
\begin{aligned} \text{numerador} &=\left(\cos(x)-\left(1-\frac{x^{2}}{2}\right)\right)+\ln(1+x^{2})\\[4pt] &=\left(\frac{x^{4}}{24}+O(x^{6})\right)+\left(x^{2}-\frac{x^{4}}{2}+O(x^{6})\right)\\[4pt] &=x^{2}+\left(\frac{1}{24}-\frac{1}{2}\right)x^{4}+O(x^{6}). \end{aligned}
Simplificando o coeficiente de x^{4}:
\frac{1}{24}-\frac{1}{2}=\frac{1-12}{24}=-\frac{11}{24},
portanto
\text{numerador}=x^{2}-\frac{11}{24}x^{4}+O(x^{6}).
Observação didática: é importante ver que o termo em x^{2} NÃO foi cancelado — ele veio todo de \ln(1+x^{2}). Isso controla o comportamento da fração ao dividir por x^{4}.]

Passo 7

Dividindo a expansão do numerador por x^{4} (que é o que aparece no limite):
\frac{\text{numerador}}{x^{4}} =\frac{x^{2}-\tfrac{11}{24}x^{4}+O(x^{6})}{x^{4}} =\frac{1}{x^{2}}-\frac{11}{24}+O(x^{2}).
Agora examine o comportamento quando x\to 0:
  • O termo \dfrac{1}{x^{2}} domina a expressão e cresce sem limite positivo quando x\to 0 (porque x^{2}>0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to +\infty).
  • Os outros termos são limitados ( -\tfrac{11}{24} é constante e O(x^{2})\to 0) e não anulam a divergência do termo \dfrac{1}{x^{2}}.

Passo 8

Conclusão (explicada de forma clara e amigável): como a expressão se comporta como \dfrac{1}{x^{2}} quando x\to 0, o quociente aumenta sem limite positivo. Em linguagem de limite, a expressão diverge para +\infty.
Força aí — faltam poucos dias e essa técnica de expandir funções até a ordem necessária é uma das mais úteis para provas com limites do tipo “polinômio no denominador”. Treina alguns exercícios parecidos trocando funções (por exemplo trocar \ln(1+x^{3}) ou \cos x por \sin x) para fixar.

Resposta

+\infty

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