Seja
z=x^{2} y+y^{3}, \quad x=t^{2}, \quad y=1-t .
Calcule \frac{d z}{d t} de duas maneiras diferentes:
a) substituindo diretamente x=t^{2} e y=1-t na expressão de z, obtendo z como função apenas de t, e depois derivando;
b) aplicando a regra da cadeia.
Verifique que os dois métodos conduzem ao mesmo resultado.

Passo 1

O enunciado dá as relações
z = x^{2}y + y^{3},\qquad x = t^{2},\qquad y = 1 - t,
e pede para calcular \dfrac{dz}{dt} de duas maneiras diferentes e verificar que dão o mesmo resultado:
  • (a) substituir x=t^{2} e y=1-t em z para obter z(t) e então derivar;
  • (b) aplicar a regra da cadeia (derivada total) usando derivadas parciais.
As informações relevantes são exatamente as três fórmulas acima; nada mais é necessário.

Passo 2

Método (a) — substituir e derivar: primeiro escrevemos z como função de t substituindo x=t^{2} e y=1-t. Portanto
z(t)=\bigl(t^{2}\bigr)^{2}\,(1-t)+\bigl(1-t\bigr)^{3}.
Aqui foi usado que x^{2}=(t^{2})^{2}=t^{4}.

Passo 3

Expandir e organizar z(t). Primeiro simplificar a primeira parcela:
t^{4}(1-t)=t^{4}-t^{5}.
Agora expandir a segunda parcela usando a fórmula do cubo de uma diferença:
(1-t)^{3}=1-3t+3t^{2}-t^{3}.
Somando as parcelas:
z(t)=t^{4}-t^{5}+1-3t+3t^{2}-t^{3}.
Agrupando por potências decrescentes de t:
z(t)=-t^{5}+t^{4}-t^{3}+3t^{2}-3t+1.

Passo 4

Derivar z(t) obtido em (a) termo a termo (regra do poder: se t^{n} então derivada é n t^{n-1}):
Derivando cada termo:
\frac{d}{dt}\bigl(-t^{5}\bigr)=-5t^{4}, \qquad \frac{d}{dt}\bigl(t^{4}\bigr)=4t^{3}, \qquad \frac{d}{dt}\bigl(-t^{3}\bigr)=-3t^{2},
\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}\bigr)=6t, \qquad \frac{d}{dt}\bigl(-3t\bigr)=-3, \qquad \frac{d}{dt}\bigl(1\bigr)=0.
Somando todas essas derivadas:
\frac{dz}{dt}=-5t^{4}+4t^{3}-3t^{2}+6t-3.

Passo 5

Método (b) — regra da cadeia para funções de várias variáveis: aqui z é dada por z(x,y) e x e y dependem de t. A derivada total é dada por
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Explicando: \dfrac{\partial z}{\partial x} é a derivada de z em relação a x mantendo y fixo, e \dfrac{\partial z}{\partial y} é a derivada de z em relação a y mantendo x fixo. Depois multiplicamos cada parcial pela derivada da variável correspondente em função de t.

Passo 6

Calcular as derivadas parciais e as derivadas de x e y em relação a t.
Da expressão z=x^{2}y+y^{3} temos:
\frac{\partial z}{\partial x}=2x y, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=x^{2}+3y^{2}.
Das definições x=t^{2} e y=1-t obtemos:
\frac{dx}{dt}=2t, \qquad \frac{dy}{dt}=-1.

Passo 7

Substituir tudo na fórmula da derivada total:
\frac{dz}{dt}=(2xy)\,(2t)+(x^{2}+3y^{2})\,(-1).
Simplificando os fatores:
\frac{dz}{dt}=4t\,x y - x^{2} - 3y^{2}.
Agora substituir x=t^{2} e y=1-t:
\frac{dz}{dt}=4t\cdot t^{2}\cdot(1-t)-t^{4}-3(1-t)^{2}.
Calcular termo a termo:
4t\cdot t^{2}\cdot(1-t)=4t^{3}-4t^{4},
e
3(1-t)^{2}=3(1-2t+t^{2})=3-6t+3t^{2}.
Então
\frac{dz}{dt}=(4t^{3}-4t^{4})-t^{4}-(3-6t+3t^{2}).
Agrupando e simplificando:
\frac{dz}{dt}=-5t^{4}+4t^{3}-3t^{2}+6t-3.

Passo 8

Comparação e checagem final: o resultado obtido no método (a) (Passo 4) e no método (b) (Passo 7) coincide:
\frac{dz}{dt}=-5t^{4}+4t^{3}-3t^{2}+6t-3.
Portanto os dois métodos levam ao mesmo resultado, como exigido.

Resposta

-5t^{4}+4t^{3}-3t^{2}+6t-3

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