Seja
Calcule
de duas maneiras diferentes:
a) substituindo diretamente
e
na expressão de
, obtendo
como função apenas de
, e depois derivando;
b) aplicando a regra da cadeia.
Verifique que os dois métodos conduzem ao mesmo resultado.
a) substituindo diretamente
b) aplicando a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado dá as relações
e pede para calcular
de duas maneiras diferentes e verificar que dão o mesmo resultado:
- (a) substituir
e em para obter e então derivar; - (b) aplicar a regra da cadeia (derivada total) usando derivadas parciais.
As informações relevantes são exatamente as três fórmulas acima; nada mais é necessário.
Passo 2
Método (a) — substituir e derivar: primeiro escrevemos
como função de
substituindo
e
. Portanto
Aqui foi usado que
.
Passo 3
Expandir e organizar
. Primeiro simplificar a primeira parcela:
Agora expandir a segunda parcela usando a fórmula do cubo de uma diferença:
Somando as parcelas:
Agrupando por potências decrescentes de
:
Passo 4
Derivar
obtido em (a) termo a termo (regra do poder: se
então derivada é
):
Derivando cada termo:
Derivando cada termo:
Somando todas essas derivadas:
Passo 5
Método (b) — regra da cadeia para funções de várias variáveis: aqui
é dada por
e
e
dependem de
. A derivada total é dada por
Explicando:
é a derivada de
em relação a
mantendo
fixo, e
é a derivada de
em relação a
mantendo
fixo. Depois multiplicamos cada parcial pela derivada da variável correspondente em função de
.
Passo 6
Calcular as derivadas parciais e as derivadas de
e
em relação a
.
Da expressão temos:
Da expressão
Das definições
e
obtemos:
Passo 7
Substituir tudo na fórmula da derivada total:
Simplificando os fatores:
Agora substituir
e
:
Calcular termo a termo:
e
Então
Agrupando e simplificando:
Passo 8
Comparação e checagem final: o resultado obtido no método (a) (Passo 4) e no método (b) (Passo 7) coincide:
Portanto os dois métodos levam ao mesmo resultado, como exigido.