Seja z=x f(yx). Determinar as funções f e z, se
z=raiz1+y^2, quando x=1.

Passo 1

Enunciado: Temos uma função de duas variáveis dada por z = x,fl(tfrac yxr). O problema diz que, para x=1, z = raiz1+y^2. Queremos achar a forma da função f e, em seguida, a expressão geral de z. Vamos usar que, ao fixar x=1, o argumento de f vira simplesmente y.

Passo 2

Para determinar f, fazemos x=1. Então
z = 1 cdot fl(tfrac y1r) = f(y)
Mas a condição nos diz que, nesse caso,
f(y) = raiz1 + y^2
Logo, definimos a função genérica para um parâmetro t por
f(t) = raiz1 + t^2

Passo 3

Agora substituímos essa f de volta em z = x,fl(tfrac yxr):
z = x ;raiz1 + l(tfrac yxr)^2
Para simplificar, fatoramos x^2 dentro da raiz:
z = x ;raiz1 + tfracy^2x^2 = x ;raiztfracx^2 + y^2x^2
E como raizx^2=|x|, mas assumindo x>0 (ou entendendo a definição principal), fica
z = x ;tfracraizx^2 + y^2x = raizx^2 + y^2

Resposta

f(t) = \sqrt{1 + t^2},
z = \sqrt{x^2 + y^2}

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