Sejam P(A)=0,30 ; P(B)=0,80 e P(A \cap B)=0,15. Pergunta-se:
a) A e B são M E ? Não, pois P(A \cap B)=0,15.
b)A e B são independentes? (não)
c) determine \mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}) \quad[0,95]
d) \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}) [0,7]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede quatro coisas. Dados fornecidos:
  • P(A)=0,30.
  • P(B)=0,80.
  • P(A\cap B)=0,15.
Perguntas:
a) As eventos A e B são mutuamente exclusivos?
b) As eventos A e B são independentes?
c) Calcular P(A\cup B).
d) Calcular P(\overline{A}).

Passo 2

O que significa “mutuamente exclusivos” (ME) e como testar aqui. Definição prática e intuitiva: dois eventos são mutuamente exclusivos quando não podem acontecer ao mesmo tempo, isto é, a interseção é vazia. Em termos de probabilidades, isso equivale a:
P(A\cap B)=0.
No nosso caso foi dado P(A\cap B)=0,15. Como 0,15\neq 0, concluímos que A e B não são mutuamente exclusivos — existe uma probabilidade positiva de ocorrerem juntos. Intuição: se fossem ME, a ocorrência de A impediria totalmente B; mas aqui há sobreposição.

Passo 3

O que significa “independência” e a forma de verificar. Definição: A e B são independentes se a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. Uma forma matemática equivalente é:
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
Vamos calcular o produto P(A)P(B):
P(A)P(B)=0,30\cdot 0,80.
Multiplicando: 0,30\cdot 0,80=0,24. Comparando com o dado P(A\cap B)=0,15 vemos que
0,15\neq 0,24.
Portanto P(A\cap B) não coincide com P(A)P(B), logo A e B não são independentes.
Passo extra de verificação (útil na prova): outra forma equivalente é comparar P(A\mid B) com P(A). Calculamos
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0,15}{0,80}=0,1875.
Como P(A\mid B)=0,1875 difere de P(A)=0,30, isso também confirma que A e B não são independentes.

Passo 4

Cálculo de P(A\cup B) com a regra da adição (princípio da inclusão-exclusão). Fórmula básica:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Substituindo os valores dados:
P(A\cup B)=0,30+0,80-0,15.
Somando 0,30+0,80=1,10. Subtraindo 0,15 obtemos
P(A\cup B)=1,10-0,15=0,95.
Observação intuitiva: a soma P(A)+P(B) passa de 1, por isso precisamos subtrair a interseção para não contar duas vezes; o resultado 0,95 está entre 0 e 1 como deve ser.

Passo 5

Cálculo de P(\overline{A}) usando a regra do complementar. Regra: a probabilidade do complemento é
P(\overline{A})=1-P(A).
Substituindo P(A)=0,30:
P(\overline{A})=1-0,30=0,70.
Isso significa que a probabilidade de A não ocorrer é 0,70.

Passo 6

Resumo rápido (modo “na prova” — o que gravar):
  • Para testar ME: verificar se P(A\cap B)=0.
  • Para testar independência: verificar se P(A\cap B)=P(A)P(B) (ou se P(A\mid B)=P(A)).
  • Para P(A\cup B): usar P(A)+P(B)-P(A\cap B).
  • Para complementar: P(\overline{A})=1-P(A).
    Você já aplicou essas fórmulas nos passos anteriores — repete isso mentalmente na prova e resolve rápido.

Resposta

a) Não
b) Não
c) 0,95
d) 0,70

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