O tempo de vida (em horas) de um novo lote de baterias é estudado, para o qual foi selecionada uma amostra de 20 baterias, que apresentou uma variância de 18,5 \mathrm{~h}^{2}. O fabricante das baterias afirma que a variância do processo é igual a 25 h^{2}.
Assumindo a normalidade dos dados, calcule com um nível de confiança de 95 \%, a estimativa do limite máximo para a variância real das baterias. O que esse limite significa?

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular, com nível de confiança de 95\%, a estimativa do limite máximo (ou seja, o limite superior) para a variância verdadeira das baterias.
  • Explicar o que esse limite significa.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • Tamanho da amostra: n=20.
  • Variância amostral observada: s^{2}=18,5\\ \mathrm{h}^{2}.
  • O enunciado também informa a afirmação do fabricante \sigma^{2}=25\\ \mathrm{h}^{2}, que podemos usar depois para comparar com o limite obtido.

Passo 2

Ferramenta teórica que vamos usar (explicação didática):
  • Quando os dados são normalmente distribuídos, existe uma estatística pivô que liga a variância amostral S^{2} com a variância populacional \sigma^{2}:
\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}_{\,n-1},
onde \chi^{2}_{\,n-1} é a distribuição qui‑quadrado com n-1 graus de liberdade.
  • O que isso quer dizer, em palavras simples: se eu calcular (n-1)S^{2}/\sigma^{2} ele segue uma distribuição conhecida (qui‑quadrado). Usando quantis dessa distribuição dá para construir intervalos de confiança para \sigma^{2}.
  • Aqui n é o tamanho da amostra, S^{2} é a variância amostral (uma estimativa), e \sigma^{2} é a variância verdadeira que queremos limitar.

Passo 3

Construindo o limite superior unilaterais de 95\% (passo a passo da fórmula):
  • Para um limite superior com nível de confiança 1-\alpha (aqui 1-\alpha=0,95, então \alpha=0,05), a desigualdade baseada no pivô leva à forma
P\!\left(\frac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{\alpha;\,n-1}} \ge \sigma^{2}\right)=1-\alpha.
  • Reorganizando essa relação para obter um limite superior para \sigma^{2} (ou seja, um número U tal que temos 95\% de confiança que \sigma^{2}\le U), obtemos a fórmula prática
\text{limite superior }U=\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{\alpha;\,n-1}},
onde s^{2} é a variância observada da amostra e \chi^{2}_{\alpha;\,n-1} é o quantil da distribuição qui‑quadrado tal que
P\!\big(\chi^{2}_{n-1}\le \chi^{2}_{\alpha;\,n-1}\big)=\alpha.
  • Em palavras: usamos o quantil inferior da qui‑quadrado (acumulado \alpha) para obter o limite superior da variância. Aqui \alpha=0,05 e os graus de liberdade são n-1=19.

Passo 4

Aplicando os números (contas detalhadas):
  • Calcule primeiro (n-1)s^{2}:
(n-1)s^{2}=19\cdot 18,5=351,5.
  • Buscamos na tabela da qui‑quadrado o quantil com probabilidade acumulada \alpha=0,05 para 19 graus de liberdade. Pelo quadro de valores, temos
\chi^{2}_{0,05;\,19}=10,117.
(ou seja, P(\chi^{2}_{19}\le 10,117)=0,05; este valor é lido numa tabela de qui‑quadrado.)
  • Agora aplicamos a fórmula do limite superior:
U=\frac{351,5}{10,117}\approx 34,744\\ \mathrm{h}^{2}.
  • Arredondando de forma prática para duas casas decimais:
U\approx 34,74\\ \mathrm{h}^{2}.

Passo 5

Interpretação didática do resultado (o que esse limite significa):
  • Frase correta e frequencista: com 95\% de confiança (ou seja, usando este procedimento de construção), podemos afirmar que a variância verdadeira \sigma^{2} é no máximo aproximadamente 34,74\\ \mathrm{h}^{2}.
  • Em termos intuitivos: dado o valor observado da variância amostral, valores de \sigma^{2} maiores que 34,74\\ \mathrm{h}^{2} seriam incompatíveis com os dados ao nível de confiança de 95\%.
  • Sobre a declaração do fabricante ( \sigma^{2}=25\\ \mathrm{h}^{2}): como 25<34,74, a afirmação do fabricante está dentro do limite superior — isto é, os dados não contradizem a alegação do fabricante (não temos evidência para dizer que a variância verdadeira excede 25\\ \mathrm{h}^{2}).
  • Observação prática para prova: calcule sempre (n-1)s^{2}, pegue o quantil \chi^{2}_{\alpha;n-1} apropriado da tabela (para limite superior use \alpha pequeno, aqui 0,05) e divida. Se sob pressão de prova, descreva a interpretação na forma frequencista (procedimento) para não errar a redação.

Resposta

Limite máximo (95%): \;34,74\\ \mathrm{h}^{2}
Significado: Com 95\% de confiança, a variância verdadeira \sigma^{2} é no máximo aproximadamente \;34,74\\ \mathrm{h}^{2} (portanto a alegação do fabricante \sigma^{2}=25\\ \mathrm{h}^{2} é compatível com os dados).

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