O tempo de vida (em horas) de um novo lote de baterias é estudado, para o qual foi selecionada uma amostra de 20 baterias, que apresentou uma variância de
. O fabricante das baterias afirma que a variância do processo é igual a
.
Assumindo a normalidade dos dados, calcule com um nível de confiança de
, a estimativa do limite máximo para a variância real das baterias. O que esse limite significa?
Assumindo a normalidade dos dados, calcule com um nível de confiança de
Passo 1
O que o problema pede:
- Calcular, com nível de confiança de
, a estimativa do limite máximo (ou seja, o limite superior) para a variância verdadeira das baterias. - Explicar o que esse limite significa.
Informações fornecidas pelo enunciado:
- Tamanho da amostra:
. - Variância amostral observada:
. - O enunciado também informa a afirmação do fabricante
, que podemos usar depois para comparar com o limite obtido.
Passo 2
Ferramenta teórica que vamos usar (explicação didática):
- Quando os dados são normalmente distribuídos, existe uma estatística pivô que liga a variância amostral
com a variância populacional :
onde
é a distribuição qui‑quadrado com
graus de liberdade.
- O que isso quer dizer, em palavras simples: se eu calcular
ele segue uma distribuição conhecida (qui‑quadrado). Usando quantis dessa distribuição dá para construir intervalos de confiança para . - Aqui
é o tamanho da amostra, é a variância amostral (uma estimativa), e é a variância verdadeira que queremos limitar.
Passo 3
Construindo o limite superior unilaterais de
(passo a passo da fórmula):
- Para um limite superior com nível de confiança
(aqui , então ), a desigualdade baseada no pivô leva à forma
- Reorganizando essa relação para obter um limite superior para
(ou seja, um número tal que temos de confiança que ), obtemos a fórmula prática
onde
é a variância observada da amostra e
é o quantil da distribuição qui‑quadrado tal que
- Em palavras: usamos o quantil inferior da qui‑quadrado (acumulado
) para obter o limite superior da variância. Aqui e os graus de liberdade são .
Passo 4
Aplicando os números (contas detalhadas):
- Calcule primeiro
:
- Buscamos na tabela da qui‑quadrado o quantil com probabilidade acumulada
para graus de liberdade. Pelo quadro de valores, temos
(ou seja,
; este valor é lido numa tabela de qui‑quadrado.)
- Agora aplicamos a fórmula do limite superior:
- Arredondando de forma prática para duas casas decimais:
Passo 5
Interpretação didática do resultado (o que esse limite significa):
- Frase correta e frequencista: com
de confiança (ou seja, usando este procedimento de construção), podemos afirmar que a variância verdadeira é no máximo aproximadamente . - Em termos intuitivos: dado o valor observado da variância amostral, valores de
maiores que seriam incompatíveis com os dados ao nível de confiança de . - Sobre a declaração do fabricante (
): como , a afirmação do fabricante está dentro do limite superior — isto é, os dados não contradizem a alegação do fabricante (não temos evidência para dizer que a variância verdadeira excede ). - Observação prática para prova: calcule sempre
, pegue o quantil apropriado da tabela (para limite superior use pequeno, aqui ) e divida. Se sob pressão de prova, descreva a interpretação na forma frequencista (procedimento) para não errar a redação.
Resposta
Limite máximo (95%):
Significado: Com de confiança, a variância verdadeira
é no máximo aproximadamente
(portanto a alegação do fabricante
é compatível com os dados).
Significado: Com