Um universo unimodal é fortemente assimétrico. Uma amostra de 120 elementos, extraída desse universo, forneceu as seguintes estimativas para sua média e desviopadrão:
e
.
É possível estimar, com
de confiança, um limite mínimo para a média real do universo? Se sim, calcule o limite. O que ele significa?
É possível estimar, com
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se é possível estimar, com
de confiança, um limite mínimo (ou seja, um limite inferior) para a média real do universo e, se possível, que calculemos esse limite e expliquemos o que ele significa.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
. - Desvio-padrão amostral:
. - Informação adicional: o universo é unimodal e fortemente assimétrico (distribuição enviesada).
Passo 2
Decidindo o método: para estimar um limite inferior para a média usamos a distribuição da média amostral. Como a variância populacional é desconhecida usamos o desvio amostral
para estimar o erro padrão. Há duas opções naturais: usar a distribuição
com
graus de liberdade ou usar a aproximação normal (Teorema do Limite Central). Vou usar a aproximação normal (valor crítico
) porque
é grande e, mesmo com assimetria, o Teorema do Limite Central garante que a média amostral esteja aproximadamente normal — isso torna a aproximação razoável. Obs.: o uso da
com
graus de liberdade daria praticamente o mesmo resultado (crítico ligeiramente maior), então a resposta numérica não muda de forma relevante.
O objetivo prático é construir um limite inferior unilaterais de
. A fórmula do limite inferior é
onde explico cada símbolo no próximo passo.
Passo 3
Explicando a fórmula e os símbolos:
-
é a média da amostra — aqui . -
é o desvio-padrão amostral — aqui . -
é o tamanho da amostra — aqui . -
é o erro padrão da média (estimado). Ele mede o quanto, em média, a média amostral varia de amostra para amostra. A fórmula é
Agora calculamos
. Primeiro
. Uma forma prática de estimar
é notar que
e
, portanto
. Assim
Passo 4
Escolhendo o valor crítico
para um limite inferior de
:
- Para um intervalo unilateral com nível de confiança
queremos que a probabilidade à direita do quantil crítico seja , ou seja a cauda superior seja . O valor crítico correspondente da normal padrão é . (Em termos de tabela de normal, .)
Portanto usamos.
Passo 5
Calculando a margem (produto do crítico pelo erro padrão):
Passo 6
Calculando o limite inferior:
Arredondando de forma prática para duas casas decimais obtemos
.
Passo 7
Interpretação e ressalvas (em linguagem direta): dizer que o limite inferior é
significa que, com base nesta amostra e sob as hipóteses do método (uso do erro padrão estimado e aproximação normal por conta de
grande), podemos afirmar com
de confiança que a verdadeira média do universo é pelo menos
. Em termos intuitivos: se repetíssemos muitas vezes o processo de tirar amostras de tamanho
e, para cada amostra, construíssemos esse limite inferior, em aproximadamente
das amostras o verdadeiro valor da média estaria acima (ou igual) do limite calculado.
Ressalva importante: a distribuição original é fortemente assimétrica; porém é grande e geralmente suficiente para que a média amostral fique aproximadamente normal. Se a assimetria for extrema ou houver observações muito atípicas, o limite pode ficar menos confiável — então, em situações críticas, usar métodos não paramétricos/bootstrapping ou consultar a
com
graus de liberdade (que daria um limite quase igual) é prudente.
Ressalva importante: a distribuição original é fortemente assimétrica; porém
Resposta
Limite mínimo para a média com
de confiança:
.
Significado: Com de confiança (considerando o método descrito), a média real do universo é pelo menos
.
Significado: Com