Um universo unimodal é fortemente assimétrico. Uma amostra de 120 elementos, extraída desse universo, forneceu as seguintes estimativas para sua média e desviopadrão: \bar{x}=30,1 e s=3,5.
É possível estimar, com 95 \% de confiança, um limite mínimo para a média real do universo? Se sim, calcule o limite. O que ele significa?

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se é possível estimar, com 95\% de confiança, um limite mínimo (ou seja, um limite inferior) para a média real do universo e, se possível, que calculemos esse limite e expliquemos o que ele significa.
Dados fornecidos:
  • Tamanho da amostra: n=120.
  • Média amostral: \bar{x}=30,1.
  • Desvio-padrão amostral: s=3,5.
  • Informação adicional: o universo é unimodal e fortemente assimétrico (distribuição enviesada).

Passo 2

Decidindo o método: para estimar um limite inferior para a média usamos a distribuição da média amostral. Como a variância populacional é desconhecida usamos o desvio amostral s para estimar o erro padrão. Há duas opções naturais: usar a distribuição t com n-1 graus de liberdade ou usar a aproximação normal (Teorema do Limite Central). Vou usar a aproximação normal (valor crítico z) porque n=120 é grande e, mesmo com assimetria, o Teorema do Limite Central garante que a média amostral esteja aproximadamente normal — isso torna a aproximação razoável. Obs.: o uso da t com 119 graus de liberdade daria praticamente o mesmo resultado (crítico ligeiramente maior), então a resposta numérica não muda de forma relevante.
O objetivo prático é construir um limite inferior unilaterais de 95\%. A fórmula do limite inferior é
\text{limite inferior} = \bar{x} - z_{0,95}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde explico cada símbolo no próximo passo.

Passo 3

Explicando a fórmula e os símbolos:
  • \bar{x} é a média da amostra — aqui \bar{x}=30,1.
  • s é o desvio-padrão amostral — aqui s=3,5.
  • n é o tamanho da amostra — aqui n=120.
  • \frac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (estimado). Ele mede o quanto, em média, a média amostral varia de amostra para amostra. A fórmula é
\text{erro padrão (estimado)} = \mathrm{SE} = \frac{s}{\sqrt{n}}.ã
Agora calculamos \mathrm{SE}. Primeiro \sqrt{n}=\sqrt{120}. Uma forma prática de estimar \sqrt{120} é notar que \sqrt{120}=\sqrt{4\cdot30}=2\sqrt{30} e \sqrt{30}\approx5,4772, portanto \sqrt{120}\approx10,9544. Assim
\mathrm{SE}=\frac{3,5}{\sqrt{120}}\approx\frac{3,5}{10,9544}\approx0,3193.

Passo 4

Escolhendo o valor crítico z_{0,95} para um limite inferior de 95\%:
  • Para um intervalo unilateral com nível de confiança 95\% queremos que a probabilidade à direita do quantil crítico seja 95\%, ou seja a cauda superior seja 0{,}95. O valor crítico correspondente da normal padrão é z_{0,95}\approx1,645. (Em termos de tabela de normal, P(Z\le 1,645)\approx0,95.)
    Portanto usamos z_{0,95}=1,645.

Passo 5

Calculando a margem (produto do crítico pelo erro padrão):
\text{margem}=z_{0,95}\cdot\mathrm{SE}=1,645\times0,3193\approx0,5252.

Passo 6

Calculando o limite inferior:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{margem}=30,1-0,5252\approx29,5748.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais obtemos 29,57.

Passo 7

Interpretação e ressalvas (em linguagem direta): dizer que o limite inferior é 29,57 significa que, com base nesta amostra e sob as hipóteses do método (uso do erro padrão estimado e aproximação normal por conta de n grande), podemos afirmar com 95\% de confiança que a verdadeira média do universo é pelo menos 29,57. Em termos intuitivos: se repetíssemos muitas vezes o processo de tirar amostras de tamanho 120 e, para cada amostra, construíssemos esse limite inferior, em aproximadamente 95\% das amostras o verdadeiro valor da média estaria acima (ou igual) do limite calculado.
Ressalva importante: a distribuição original é fortemente assimétrica; porém n=120 é grande e geralmente suficiente para que a média amostral fique aproximadamente normal. Se a assimetria for extrema ou houver observações muito atípicas, o limite pode ficar menos confiável — então, em situações críticas, usar métodos não paramétricos/bootstrapping ou consultar a t com 119 graus de liberdade (que daria um limite quase igual) é prudente.

Resposta

Limite mínimo para a média com 95\% de confiança: \;29,57.
Significado: Com 95\% de confiança (considerando o método descrito), a média real do universo é pelo menos \;29,57.

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