Sejam as afirmações:
I) A equação \frac{x^{2}}{5}+y=3 z^{2} representa um parabolóide hiperbólico.
II) Os traços x=0, y=0 e z=0 da superfície 3 x^{2}-4 y^{2}=1+5 z^{2} são hipérboles.
III) Todas as seções z=k da superfície 5 x^{2}+8 y^{2}+2 z^{2}=1 são elipses.
Marque a alternativa correta:
Escolha uma opção:
\bigcirc a. Apenas a afirmação I é verdadeira.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre superfícies/quádricas e pede que eu indique qual alternativa está correta. As afirmações são:
I) A equação \frac{x^{2}}{5}+y=3 z^{2} representa um parabolóide hiperbólico.
II) Os traços x=0,\;y=0 e z=0 da superfície 3 x^{2}-4 y^{2}=1+5 z^{2} são hipérboles.
III) Todas as seções z=k da superfície 5 x^{2}+8 y^{2}+2 z^{2}=1 são elipses.
O que preciso decidir é quais dessas afirmações são verdadeiras e qual alternativa (a, b, c, …) corresponde a essa escolha. Não vou resolver nada ainda, só registrei o que é pedido e as equações fornecidas.

Passo 2

Vamos analisar a afirmação I: \frac{x^{2}}{5}+y=3 z^{2}.
Primeiro vou escrever essa equação isolando y, para ficar no formato “uma coordenada igual a combinações quadráticas das outras duas”:
y = 3 z^{2} - \frac{x^{2}}{5}.
Agora uma pequena aula didática: uma superfície do tipo “parabolóide” tem uma coordenada dada por termos quadráticos das outras duas. Existem dois tipos principais:
  • Parabolóide elíptico: a coordenada isolada é soma de quadrados com mesmos sinais, por exemplo \;w = a u^{2} + b v^{2}\;.
  • Parabolóide hiperbólico (às vezes chamado “sela” ou “saddle”): a coordenada isolada é diferença entre quadrados (sinais opostos), por exemplo \;w = a u^{2} - b v^{2}\;.
Aqui, y está escrita como a diferença de dois termos quadráticos: +3 z^{2} e -\dfrac{x^{2}}{5}. Os coeficientes têm sinais opostos, logo a forma é a de um parabolóide hiperbólico. Outra forma prática de ver: se eu fixo y=c então
3 z^{2} - \frac{x^{2}}{5} = c,
que, para valores de c variados, descreve hipérboles no plano (x,z) (quando c\neq 0) — comportamento típico de um parabolóide hiperbólico. Portanto a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Agora a afirmação II: “Os traços x=0,\;y=0 e z=0 da superfície \;3 x^{2}-4 y^{2}=1+5 z^{2}\; são hipérboles.”
Primeiro, o que é um traço: é a interseção da superfície com um plano coordenado (por exemplo x=0 é o plano que corta a superfície), então devemos substituir a condição do traço na equação e ver a curva resultante no plano restante.
Traço em x=0: substituir x=0 na equação:
3\cdot 0^{2} - 4 y^{2} = 1 + 5 z^{2} \quad\Rightarrow\quad -4 y^{2} = 1 + 5 z^{2}.
Reescrevendo,
4 y^{2} + 5 z^{2} = -1.
O lado esquerdo é soma de não-negativos (para y,z reais), então não pode ser igual a -1. Logo não existem pontos reais nessa interseção: o traço x=0 é vazio (sem pontos reais). Portanto não é uma hipérbole (não há curva real a classificar). Conclusão parcial: a afirmação já falha aqui.
Mesmo assim, por completude, vejo os outros dois traços:
Traço em y=0: substituir y=0:
3 x^{2} = 1 + 5 z^{2} \quad\Rightarrow\quad 3 x^{2} - 5 z^{2} = 1.
Isto é da forma \;A x^{2} - B z^{2} = 1\; com A>0,\;B>0, que é a equação canônica de uma hipérbole no plano (x,z). Portanto esse traço é uma hipérbole.
Traço em z=0: substituir z=0:
3 x^{2} - 4 y^{2} = 1,
que também é da forma \;A x^{2} - B y^{2} = 1\; com A>0,\;B>0, então é uma hipérbole no plano (x,y).
Resumo do Passo 3: os traços em y=0 e z=0 são hipérboles, mas o traço em x=0 é vazio (não há pontos reais), portanto a afirmação II (“os traços x=0,y=0,z=0 são hipérboles”) é falsa, porque exige que os três sejam hipérboles.

Passo 4

Agora a afirmação III: “Todas as seções z=k da superfície \;5 x^{2}+8 y^{2}+2 z^{2}=1\; são elipses.”
Fixo z=k (constante real) e substituo na equação:
5 x^{2} + 8 y^{2} + 2 k^{2} = 1 \quad\Rightarrow\quad 5 x^{2} + 8 y^{2} = 1 - 2 k^{2}.
Isto descreve uma curva no plano (x,y). Para que essa curva seja uma elipse (no sentido clássico de uma elipse não degenerada), o lado direito deve ser positivo: 1 - 2 k^{2} > 0. Se 1 - 2 k^{2} > 0, posso dividir e escrever:
\frac{x^{2}}{\dfrac{1-2 k^{2}}{5}} + \frac{y^{2}}{\dfrac{1-2 k^{2}}{8}} = 1,
que é claramente uma elipse (denominadores positivos). Agora veja os casos extremos:
  • Se |k| < \dfrac{1}{\sqrt{2}}, então 1-2 k^{2} > 0 e a seção z=k é uma elipse verdadeira e não degenerada.
  • Se |k| = \dfrac{1}{\sqrt{2}}, então 1-2 k^{2} = 0 e a equação se reduz a 5 x^{2}+8 y^{2}=0, que só tem a solução x=0,y=0: uma única ponto — é uma elipse degenerada (um ponto).
  • Se |k| > \dfrac{1}{\sqrt{2}}, então 1-2 k^{2} < 0 e não existem pontos reais na seção (a interseção é vazia).
Portanto nem todas as seções z=k são elipses: apenas aquelas com |k|<1/\sqrt{2} dão elipses reais; para |k|=1/\sqrt{2} dá um ponto; para |k|>1/\sqrt{2} não há interseção real. Assim a afirmação III é falsa se interpretada como “para todo k a seção é uma elipse”.

Passo 5

Concluindo os três testes:
  • I é verdadeira.
  • II é falsa (porque o traço x=0 é vazio).
  • III é falsa (pois só para |k|<1/\sqrt{2} as seções são elipses não degeneradas).
Logo apenas a afirmação I é verdadeira.

Resposta

a. Apenas a afirmação I é verdadeira.

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