Sejam as afirmações:
I) A equação
representa um parabolóide hiperbólico.
II) Os traços
e
da superfície
são hipérboles.
III) Todas as seções
da superfície
são elipses.
Marque a alternativa correta:
Escolha uma opção:
a. Apenas a afirmação I é verdadeira.
I) A equação
II) Os traços
III) Todas as seções
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre superfícies/quádricas e pede que eu indique qual alternativa está correta. As afirmações são:
I) A equação
representa um parabolóide hiperbólico.
II) Os traços
e
da superfície
são hipérboles.
III) Todas as seções
da superfície
são elipses.
O que preciso decidir é quais dessas afirmações são verdadeiras e qual alternativa (a, b, c, …) corresponde a essa escolha. Não vou resolver nada ainda, só registrei o que é pedido e as equações fornecidas.
Passo 2
Vamos analisar a afirmação I:
.
Primeiro vou escrever essa equação isolando
, para ficar no formato “uma coordenada igual a combinações quadráticas das outras duas”:
Agora uma pequena aula didática: uma superfície do tipo “parabolóide” tem uma coordenada dada por termos quadráticos das outras duas. Existem dois tipos principais:
- Parabolóide elíptico: a coordenada isolada é soma de quadrados com mesmos sinais, por exemplo
. - Parabolóide hiperbólico (às vezes chamado “sela” ou “saddle”): a coordenada isolada é diferença entre quadrados (sinais opostos), por exemplo
.
Aqui,
está escrita como a diferença de dois termos quadráticos:
e
. Os coeficientes têm sinais opostos, logo a forma é a de um parabolóide hiperbólico. Outra forma prática de ver: se eu fixo
então
que, para valores de
variados, descreve hipérboles no plano
(quando
) — comportamento típico de um parabolóide hiperbólico. Portanto a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Agora a afirmação II: “Os traços
e
da superfície
são hipérboles.”
Primeiro, o que é um traço: é a interseção da superfície com um plano coordenado (por exemplo
é o plano que corta a superfície), então devemos substituir a condição do traço na equação e ver a curva resultante no plano restante.
Traço em
: substituir
na equação:
Reescrevendo,
O lado esquerdo é soma de não-negativos (para
reais), então não pode ser igual a
. Logo não existem pontos reais nessa interseção: o traço
é vazio (sem pontos reais). Portanto não é uma hipérbole (não há curva real a classificar). Conclusão parcial: a afirmação já falha aqui.
Mesmo assim, por completude, vejo os outros dois traços:
Traço em
: substituir
:
Isto é da forma
com
, que é a equação canônica de uma hipérbole no plano
. Portanto esse traço é uma hipérbole.
Traço em
: substituir
:
que também é da forma
com
, então é uma hipérbole no plano
.
Resumo do Passo 3: os traços em
e
são hipérboles, mas o traço em
é vazio (não há pontos reais), portanto a afirmação II (“os traços
são hipérboles”) é falsa, porque exige que os três sejam hipérboles.
Passo 4
Agora a afirmação III: “Todas as seções
da superfície
são elipses.”
Fixo
(constante real) e substituo na equação:
Isto descreve uma curva no plano
. Para que essa curva seja uma elipse (no sentido clássico de uma elipse não degenerada), o lado direito deve ser positivo:
. Se
, posso dividir e escrever:
que é claramente uma elipse (denominadores positivos). Agora veja os casos extremos:
- Se
, então e a seção é uma elipse verdadeira e não degenerada. - Se
, então e a equação se reduz a , que só tem a solução : uma única ponto — é uma elipse degenerada (um ponto). - Se
, então e não existem pontos reais na seção (a interseção é vazia).
Portanto nem todas as seções
são elipses: apenas aquelas com
dão elipses reais; para
dá um ponto; para
não há interseção real. Assim a afirmação III é falsa se interpretada como “para todo
a seção é uma elipse”.
Passo 5
Concluindo os três testes:
- I é verdadeira.
- II é falsa (porque o traço
é vazio). - III é falsa (pois só para
as seções são elipses não degeneradas).
Logo apenas a afirmação I é verdadeira.
Resposta
a. Apenas a afirmação I é verdadeira.