Qual das alternativas abaixo indica o domínio da função f(x, y)=\frac{\ln \left(3 x+2 y^{2}\right)}{\sqrt[5]{3 x+4 y+3}} ?
Escolha uma opção:
a. \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 3 x+4 y+3 \neq 0,3 x+2 y^{2}>0\right\}
b. \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 3 x+4 y+3>0,3 x+2 y^{2}>0\right\}
c. \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 3 x+4 y+3>0\right\}
d. \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 3 x+4 y+3 \neq 0,3 x+2 y^{2} \neq 0\right\}
e. \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 3 x+4 y+3>0,3 x+2 y^{2} \neq 0\right\}
f. \mathbb{R}^{2}
g. \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 3 x+2 y^{2} \neq 0\right\}
h. \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 3 x+2 y^{2}>0\right\}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função
f(x,y)=\frac{\ln\left(3x+2y^{2}\right)}{\sqrt[5]{3x+4y+3}}.
Informações dadas:
  • A função é dada por \ln\left(3x+2y^{2}\right) no numerador.
  • O denominador é \sqrt[5]{3x+4y+3}.
  • Preciso escolher, entre as alternativas fornecidas (a)–(h), qual descreve corretamente o domínio (o conjunto de todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^2 onde f está definida).

Passo 2

Entendimento do que a parte do numerador impõe: a função logarítmica natural \ln(t) só está definida para argumentos positivos. Ou seja, para \ln\left(3x+2y^{2}\right) ser válida devemos ter
3x+2y^{2}>0.
Explicação didática: \ln(t) exige t>0 porque \ln(0) é indefinido e \ln(t) não aceita t<0 no conjunto dos números reais. Aqui 3x+2y^{2} é o argumento; note que 2y^{2}\ge 0 sempre, então a desigualdade impõe uma restrição verdadeira sobre x e y.

Passo 3

Entendimento do que a parte do denominador impõe: temos uma raiz de índice ímpar \sqrt[5]{\cdot}. Propriedade importante das raízes ímpares:
  • \sqrt[5]{t} está definida para todo t\in\mathbb{R} (aceita negativos e positivos).
    Porém, como essa raiz aparece no denominador, não podemos ter divisão por zero. Então devemos exigir que a raiz seja diferente de zero, o que é equivalente a exigir que o radicando seja diferente de zero. Assim obtemos a condição
3x+4y+3\neq 0.
Explicação didática: a raiz quinta de zero é zero; se o radicando fosse zero teríamos divisão por zero, o que não é permitido. Não é necessário exigir 3x+4y+3>0, pois raízes de índice ímpar aceitam sinais negativos — só proibimos exatamente o zero.

Passo 4

Agora combinamos as duas condições que vêm de numerador e denominador: o domínio é o conjunto dos (x,y) que satisfazem simultaneamente
3x+2y^{2}>0\quad\text{e}\quad 3x+4y+3\neq 0.
Em palavras: o argumento do log deve ser estritamente positivo e o radicando do denominador não pode ser zero. Observação: não precisamos nem devemos exigir 3x+4y+3>0 (isso apareceria se a raiz fosse de índice par), então exigir apenas \neq 0 é o correto here.

Passo 5

Vamos confrontar essa conclusão com as alternativas: a alternativa (a) afirma exatamente
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 3x+4y+3\neq 0,\;3x+2y^{2}>0\},
que é a interseção das condições que derivei. As alternativas que exigem 3x+4y+3>0 são demasiado restritivas (por exemplo, um ponto com 3x+2y^2>0 e 3x+4y+3<0 seria legal para a função mas é excluído por essas alternativas); as alternativas que deixam 3x+2y^2 apenas diferente de zero estão erradas porque o log exige positividade, não apenas ser diferente de zero.

Resposta

\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 3 x+4 y+3 \neq 0,3 x+2 y^{2}>0\right\}

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