Qual das alternativas abaixo indica o domínio da função
?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
Informações dadas:
- A função é dada por
no numerador. - O denominador é
. - Preciso escolher, entre as alternativas fornecidas (a)–(h), qual descreve corretamente o domínio (o conjunto de todos os pares
onde está definida).
Passo 2
Entendimento do que a parte do numerador impõe: a função logarítmica natural
só está definida para argumentos positivos. Ou seja, para
ser válida devemos ter
Explicação didática:
exige
porque
é indefinido e
não aceita
no conjunto dos números reais. Aqui
é o argumento; note que
sempre, então a desigualdade impõe uma restrição verdadeira sobre
e
.
Passo 3
Entendimento do que a parte do denominador impõe: temos uma raiz de índice ímpar
. Propriedade importante das raízes ímpares:
-
está definida para todo (aceita negativos e positivos).
Porém, como essa raiz aparece no denominador, não podemos ter divisão por zero. Então devemos exigir que a raiz seja diferente de zero, o que é equivalente a exigir que o radicando seja diferente de zero. Assim obtemos a condição
Explicação didática: a raiz quinta de zero é zero; se o radicando fosse zero teríamos divisão por zero, o que não é permitido. Não é necessário exigir
, pois raízes de índice ímpar aceitam sinais negativos — só proibimos exatamente o zero.
Passo 4
Agora combinamos as duas condições que vêm de numerador e denominador: o domínio é o conjunto dos
que satisfazem simultaneamente
Em palavras: o argumento do log deve ser estritamente positivo e o radicando do denominador não pode ser zero. Observação: não precisamos nem devemos exigir
(isso apareceria se a raiz fosse de índice par), então exigir apenas
é o correto here.
Passo 5
Vamos confrontar essa conclusão com as alternativas: a alternativa (a) afirma exatamente
que é a interseção das condições que derivei. As alternativas que exigem
são demasiado restritivas (por exemplo, um ponto com
e
seria legal para a função mas é excluído por essas alternativas); as alternativas que deixam
apenas diferente de zero estão erradas porque o log exige positividade, não apenas ser diferente de zero.