Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y=x^{2}+4 x+4 e y=-2 x^{2}-8 x-5 em torno do eixo x=4 usando o método das cascas.
Escolha uma opção:
\bigcirc a. \pi \int_{0}^{1}\left[(\sqrt{y}-6)^{2}-(-\sqrt{y}-6)^{2}\right] d y+\pi \int_{1}^{3}\left[\left(\sqrt{\frac{3-y}{2}}-6\right)^{2}-\left(-\sqrt{\frac{3-y}{2}}-6\right)^{2}\right] d y

Passo 1

O que o problema pede e quais informações temos:
  • Pede: encontrar a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar a região limitada pelas curvas \;y=x^{2}+4x+4\; e \;y=-2x^{2}-8x-5\; em torno da reta \;x=4\;, usando o método das cascas (cilíndricas).
  • Informações dadas: as duas equações das curvas e o eixo de rotação \;x=4\;.
  • O que precisamos determinar para aplicar o método das cascas: os pontos de interseção (para os limites de integração em x), a altura de cada casca (diferença entre as curvas, escolhendo corretamente quem é a superior e quem é a inferior na região), e o raio da casca (distância horizontal até x=4).

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção (para delimitar a região em x):
Igualamos as duas curvas:
x^{2}+4x+4 = -2x^{2}-8x-5.
Passando tudo para um lado:
3x^{2}+12x+9=0.
Dividindo por 3:
x^{2}+4x+3=0.
Fatorando:
(x+1)(x+3)=0,
logo as interseções ocorrem em \;x=-1\; e \;x=-3\;.
Calculemos o y correspondente (apenas para ter noção da região): usando, por exemplo, x=-3,
y = (-3)^{2}+4(-3)+4 = 9-12+4 = 1.
Para x=-1,
y = (-1)^{2}+4(-1)+4 = 1-4+4 = 1.
Então ambas as interseções têm y=1. A região está entre x=-3 e x=-1.

Passo 3

Explicar o método das cascas (de forma didática e concreta):
  • Ao girar uma região em torno de uma reta vertical ( x=4), usamos cascas cilíndricas formadas por tiras verticais (variando em x).
  • Cada casca, situada em x, tem:
    • raio (distância horizontal do ponto x até o eixo x=4): \;r(x)=|4-x|. Como aqui x varia de -3 a -1, temos 4-x>0, logo \;r(x)=4-x.
    • altura h(x)= (função superior) - (função inferior) naquela abscissa x.
  • A área lateral de uma casca fina de espessura dx é 2\pi \, r(x)\, h(x)\, dx.
  • Integrando de x=-3 até x=-1 obtemos o volume:
V = \int_{x=-3}^{x=-1} 2\pi\, r(x)\, h(x)\, dx.

Passo 4

Determinar qual curva é superior na região e escrever a altura h(x):
Tomemos um ponto interior, por exemplo x=-2, para ver quem fica acima:
y_1(x)=x^{2}+4x+4,\qquad y_2(x)=-2x^{2}-8x-5.
Em x=-2:
y_1(-2)=(-2)^{2}+4(-2)+4=4-8+4=0,
y_2(-2)=-2(4)-8(-2)-5=-8+16-5=3.
Logo y_2 está acima de y_1 na região entre -3 e -1. Portanto a altura é
h(x)=y_{\text{superior}}-y_{\text{inferior}} = (-2x^{2}-8x-5) - (x^{2}+4x+4).
Simplificando:
h(x) = -3x^{2}-12x-9 = -3\bigl(x^{2}+4x+3\bigr).
Observação: nesse intervalo x^{2}+4x+3<0, então h(x)>0 como deve ser (o sinal negativo zera a negatividade).

Passo 5

Montar a integral das cascas:
  • Raio: \;r(x)=4-x.
  • Altura: \;h(x)=-3x^{2}-12x-9.
  • Fórmula do volume por cascas:
V = \int_{-3}^{-1} 2\pi\, (4-x)\, \bigl(-3x^{2}-12x-9\bigr)\, dx.
Podemos escrever de forma mais compacta (fatorando -3 ):
V = -6\pi \int_{-3}^{-1} (4-x)\bigl(x^{2}+4x+3\bigr)\, dx.
Ambas as formas são equivalentes e representam o volume calculado pelo método das cascas.

Passo 6

Comentário sobre a opção dada (opção a) e por que ela não corresponde ao método pedido:
  • A opção (a) apresentada está em integrais em y do tipo \pi\int(\text{outer}^2-\text{inner}^2)\,dy, ou seja, é uma formulação pelo método dos discos/aros (washers) integrando em y, não pelo método das cascas integrando em x.
  • Além disso, os termos na opção (a) envolvem expressões como \sqrt{y}-6 e -\sqrt{y}-6, que vêm de resolver as curvas para x em função de y e deslocar em relação a x=4 (note que 4 convertido para as expressões deles dá o -6 aparente), mas a opção está particionando em intervalos de y e usa raio externo e interno ao quadrado — é outra abordagem. O enunciado pediu explicitamente usar o método das cascas; portanto a integral correta pelo método das cascas é a que obtivemos no passo anterior.

Resposta

V \;=\; \int_{-3}^{-1} 2\pi\,(4-x)\,(-3x^{2}-12x-9)\,dx

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