Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
usando o método das cascas.
Escolha uma opção:
a.
Passo 1
O que o problema pede e quais informações temos:
- Pede: encontrar a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar a região limitada pelas curvas
e em torno da reta , usando o método das cascas (cilíndricas). - Informações dadas: as duas equações das curvas e o eixo de rotação
. - O que precisamos determinar para aplicar o método das cascas: os pontos de interseção (para os limites de integração em
), a altura de cada casca (diferença entre as curvas, escolhendo corretamente quem é a superior e quem é a inferior na região), e o raio da casca (distância horizontal até ).
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção (para delimitar a região em
):
Igualamos as duas curvas:
Passando tudo para um lado:
Dividindo por
:
Fatorando:
logo as interseções ocorrem em
e
.
Calculemos o
correspondente (apenas para ter noção da região): usando, por exemplo,
,
Para
,
Então ambas as interseções têm
. A região está entre
e
.
Passo 3
Explicar o método das cascas (de forma didática e concreta):
- Ao girar uma região em torno de uma reta vertical (
), usamos cascas cilíndricas formadas por tiras verticais (variando em ). - Cada casca, situada em
, tem: - raio (distância horizontal do ponto
até o eixo ): Como aqui varia de a , temos , logo - altura
(função superior) (função inferior) naquela abscissa .
- raio (distância horizontal do ponto
- A área lateral de uma casca fina de espessura
é - Integrando de
até obtemos o volume:
Passo 4
Determinar qual curva é superior na região e escrever a altura
:
Tomemos um ponto interior, por exemplo
, para ver quem fica acima:
Em
:
Logo
está acima de
na região entre
e
. Portanto a altura é
Simplificando:
Observação: nesse intervalo
, então
como deve ser (o sinal negativo zera a negatividade).
Passo 5
Montar a integral das cascas:
- Raio:
- Altura:
- Fórmula do volume por cascas:
Podemos escrever de forma mais compacta (fatorando
):
Ambas as formas são equivalentes e representam o volume calculado pelo método das cascas.
Passo 6
Comentário sobre a opção dada (opção a) e por que ela não corresponde ao método pedido:
- A opção (a) apresentada está em integrais em
do tipo , ou seja, é uma formulação pelo método dos discos/aros (washers) integrando em , não pelo método das cascas integrando em . - Além disso, os termos na opção (a) envolvem expressões como
e , que vêm de resolver as curvas para em função de e deslocar em relação a (note que convertido para as expressões deles dá o aparente), mas a opção está particionando em intervalos de e usa raio externo e interno ao quadrado — é outra abordagem. O enunciado pediu explicitamente usar o método das cascas; portanto a integral correta pelo método das cascas é a que obtivemos no passo anterior.