Sejam \alpha=\{(1,0),(0,1)\}, \beta=\{(-1,1),(1,1)\} e \gamma=\{(3,-1),(1,3)\} bases ordenadas de \mathbb{R}^{2}.
(a) Ache as seguintes matrizes de mudança de base: [I]_{\alpha}^{\beta},[I]_{\beta}^{\alpha}, \mathrm{e}[I]_{\gamma}^{\beta}.
(b) Seja u=(2,3). Determine: [u]_{\alpha},[u]_{\beta} \mathrm{e}[u]_{\gamma}.
(c) Seja v \in \mathbb{R}^{2} tal que [v]_{\beta}=\left[\begin{array}{c}3 \\\\ -1\end{array}\right]. Determine: [v]_{\alpha} e [v]_{\gamma}.
Passo 1
O enunciado nos dá três bases ordenadas de \mathbb{R}^2: \alpha=\{(1,0),(0,1)\}, \beta=\{(-1,1),(1,1)\} e \gamma=\{(3,-1),(1,3)\}.
Pede-se em (a) as matrizes de mudança de base [I]_{\alpha}^{\beta}, [I]_{\beta}^{\alpha} e [I]_{\gamma}^{\beta};
em (b) as coordenadas de u=(2,3) nessas três bases;
e em (c) para v dado por [v]_{\beta}=\bigl(3,\,-1\bigr)^T, encontrar [v]_{\alpha} e [v]_{\gamma}.
O conteúdo envolve expressar vetores de uma base em outra e montar a matriz cuja coluna j são as coordenadas do j-ésimo vetor da base de partida na base de chegada.
Passo 2
Para achar [I]_{\alpha}^{\beta}\), expressamos cada vetor de \(\alpha\) em coordenadas da base \(\beta\).
1) \((1,0)=x\,(-1,1)+y\,(1,1)\)
\[\begin{cases} -x + y = 1,\\\ \;x + y = 0, \end{cases}
daí x=-\tfrac12\], \[y=\tfrac12. Logo [\, (1,0)\,]_{\beta}=(-\tfrac12,\tfrac12)^T.
(0,1)=x\,(-1,1)+y\,(1,1)
\begin{cases} -x + y = 0,\\\ \;x + y = 1, \end{cases}
daí x=\tfrac12\], \(y=\tfrac12. Logo [\, (0,1)\,]_{\beta}=(\tfrac12,\tfrac12)^T.
Para [I]_{\beta}^{\alpha}, basta expressar cada vetor de \beta em coordenadas da base \alpha. Como \alpha é a base padrão, as coordenadas são os próprios componentes:
Para [I]_{\gamma}^{\beta}\), expressamos cada vetor de \(\gamma\) em coordenadas da base \(\beta\).
1) \((3,-1)=x\,(-1,1)+y\,(1,1)\)
\[\begin{cases} -x + y = 3,\\\ \;x + y = -1, \end{cases} \quad\implies\quad (x,y)=(-2,1).
((1,3)=x,(-1,1)+y,(1,1)] \begin{cases} -x + y = 1,\\\ \;x + y = 3, \end{cases} \quad\implies\quad (x,y)=(1,2).
Logo [I]_{\gamma}^{\beta} =\begin{pmatrix} -2 & 1\\\ \;1 & 2 \end{pmatrix}.
Passo 5
Agora u=(2,3).
Em \alpha (base padrão) as coordenadas são triviais:
[u]_{\alpha}=\begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix}.
Em \beta, usamos [u]_{\beta}=[I]_{\alpha}^{\beta}\,[u]_{\alpha}: