Sejam v_{1}=(1,2,3), v_{2}=(0,1,2) e v_{3}=(0,0,1) vetores de \mathbb{R}^{3}.
(a) Mostre que o conjunto \beta=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} é uma base de \mathbb{R}^{3}.
(b) Determine as coordenadas de u=(5,4,2) em relação à base \beta.
(c) Determine o vetor v \in \mathbb{R}^{3} tal que [v]_{\beta}=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ -3 \\\\ 4\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá os vetores \,v_{1}=(1,2,3), v_{2}=(0,1,2) e v_{3}=(0,0,1) em \mathbb{R}^{3}.
(a) Precisamos mostrar que \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é base de \mathbb{R}^{3}, ou seja, que são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^{3}.
(b) Depois, vamos achar escalares c_{1},c_{2},c_{3} tais que c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}=u para u=(5,4,2).
(c) Finalmente, dado [v]_{\beta}=\bigl(2,\,-3,\,4\bigr)^{T}, vamos calcular o vetor v correspondente.

Passo 2

Para (a), coloque v_{1},v_{2},v_{3} como colunas na matriz
M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Essa matriz é triangular superior e seus elementos diagonais são todos 1. Logo
\det(M)=1\neq 0.
Como \det(M)\neq0, as colunas são linearmente independentes e, por estarem em \mathbb{R}^{3}, também geram o espaço. Portanto \beta=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} é base de \mathbb{R}^{3}.

Passo 3

Para (b), queremos c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}=u\). Isso dá o sistema \[\begin{cases} c_{1}+0\,c_{2}+0\,c_{3}=5,\\\\ 2c_{1}+c_{2}+0\,c_{3}=4,\\\\ 3c_{1}+2c_{2}+c_{3}=2. \end{cases}
Da primeira equação segue c_{1}=5\]. Substituindo na segunda, \[2\cdot5 + c_{2}=4\quad\Longrightarrow\quad c_{2}=-6.\] Substituindo \(c_{1} e c_{2} na terceira,
3\cdot5 + 2\cdot(-6) + c_{3}=2 \quad\Longrightarrow\quad 15-12 + c_{3}=2 \quad\Longrightarrow\quad c_{3}=-1.
Assim
[u]_{\beta}=\begin{pmatrix}5\\\ -6\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 4

Para (c), dado [v]_{\beta}=(2,-3,4)^{T}, temos
v = 2\,v_{1} \;+\; (-3)\,v_{2}\;+\;4\,v_{3}.
Calculando,
2(1,2,3)+(0,-3,-6)+(0,0,4)=(2,4,6)+(0,-3,-6)+(0,0,4)=(2,1,4).

Resposta

(a) \beta é base de \mathbb{R}^{3}, pois \det(M)=1\neq0.
(b) [u]_{\beta}=\begin{pmatrix}5\\\ -6\\\ -1\end{pmatrix}.
(c) v=(2,1,4).

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