Sejam \alpha e \beta bases ordenadas de \mathbb{R}^{3} tais que [I]_{\beta}^{\alpha}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]. Se v \in \mathbb{R}^{3} e [v]_{\beta}= \left[\begin{array}{c}2 \\\\ -3 \\\\ 5\end{array}\right], encontre [v]_{\alpha}.

Passo 1

O enunciado nos dá duas bases ordenadas \alpha e \beta de \mathbb{R}^{3} e a matriz de mudança de coordenadas do sistema de coordenadas em \beta para o sistema em \alpha:
[I]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Também sabemos que, no sistema \beta, o vetor v tem coordenadas
[v]_{\beta} = \begin{pmatrix} 2\\\\ -3\\\\ 5 \end{pmatrix}.
Queremos encontrar as coordenadas de v na base \alpha, isto é, [v]_{\alpha}. Para isso, vamos usar a relação de mudança de base para o operador identidade:
[v]_{\alpha} = [I]_{\beta}^{\alpha}\,[v]_{\beta}.

Passo 2

Aplicando a fórmula
[v]_{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\\\ -3\\\\ 5 \end{pmatrix},
calculamos cada componente:

Passo 3

\begin{aligned} \text{1ª linha: }&1\cdot2 + 1\cdot(-3) + 0\cdot5 = 2 - 3 = -1,\\\ \text{2ª linha: }&0\cdot2 + 1\cdot(-3) + 0\cdot5 = -3,\\\ \text{3ª linha: }&1\cdot2 + 0\cdot(-3) + 1\cdot5 = 2 + 5 = 7. \end{aligned}ªªª

Resposta

[v]_{\alpha} = \begin{pmatrix} -1\\\\ -3\\\\ 7 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados