Sejam \alpha=\{(1,0),(0,2)\}, \beta=\{(-1,0),(1,1)\}, \gamma=\{(1,1),(-1,0)\} bases ordenadas de \mathbb{R}^{2}. Determine:
I]_{\gamma}^{\beta}

Passo 1

O enunciado nos dá três bases ordenadas de \mathbb{R}^2: \alpha=\{(1,0),(0,2)\}, \beta=\{(-1,0),(1,1)\} e \gamma=\{(1,1),(-1,0)\},
e pede a matriz de identidade \,[I]_{\gamma}^{\beta}, ou seja, a matriz que leva coordenadas em \gamma para coordenadas em \beta.
Para isso, basta expressar cada vetor de \gamma como combinação linear dos vetores de \beta.

Passo 2

Para \gamma_{1}=(1,1), procuramos escalares a,b tais que
a(-1,0)+b(1,1)=(1,1).
Da segunda componente vem b=1. Substituindo na primeira:
-\,a + 1 = 1\quad\Longrightarrow\quad a=0.
Portanto as coordenadas de \gamma_{1} na base \beta são (0,1).

Passo 3

Para \gamma_{2}=(-1,0), buscamos a,b com
a(-1,0)+b(1,1)=(-1,0).
Da segunda componente segue b=0. Na primeira:
-\,a + 0 = -1\quad\Longrightarrow\quad a=1.
Logo as coordenadas de \gamma_{2} em \beta são (1,0).

Passo 4

As colunas de [I]_{\gamma}^{\beta} são as coordenadas obtidas de \gamma_{1} e \gamma_{2}. Assim:
[I]_{\gamma}^{\beta} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}

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