Determinar m para que as retas r_{1} e r_{2} sejam ortogonais. \rightarrow \theta=90^{\circ} \rightarrow \cos \theta=0
r_{1}:(x, y, z)=(-3,1,0)+t(2 m, 3,-4), t \in \mathbb{R} e r_{2}:(x, y, z)=(-1,0,4)+t(2,1,-1), t \in \mathbb{R}
Resp. m=-7 / 4

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço em forma vetorial
r_{1}:(x,y,z)=(-3,1,0)+t\,(2m,3,-4),\quad t\in\mathbb{R}
r_{2}:(x,y,z)=(-1,0,4)+s\,(2,1,-1),\quad s\in\mathbb{R}
e pede m para que r_{1} e r_{2} sejam ortogonais. O conteúdo aqui é geometria analítica: duas retas são ortogonais se e somente se seus vetores diretores são ortogonais, isto é, o produto escalar entre eles é zero.

Passo 2

Identificamos os vetores diretores
\mathbf{v}=(2m,3,-4), \quad \mathbf{w}=(2,1,-1).
Para vetores ortogonais vale
\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=0.

Passo 3

Calculamos o produto escalar
\mathbf{v}\cdot \mathbf{w} =(2m)\cdot 2 + 3\cdot1 + (-4)\cdot(-1) =4m + 3 + 4 =4m + 7.
Logo, impomos
4m + 7 = 0.

Passo 4

Resolvendo para m:
4m = -7 \quad\Longrightarrow\quad m = -\tfrac{7}{4}.

Resposta

m = -\tfrac{7}{4}

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