Prove os seguintes teoremas:
Prove que \sqrt{2} é um número irracional.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \sqrt{2} não pode ser escrito como quociente de dois inteiros, ou seja, que \sqrt{2}$ é irracional. Vamos usar uma prova por contradição, partindo da definição de número racional como fracção irreduzível.éçãçãúçãí

Passo 2

Suponha, por contradição, que \sqrt{2} seja racional. Então existem inteiros p e q\neq0 tais que \gcd(p,q)=1 e\r
\sqrt{2} = \frac{p}{q}.

Passo 3

Elevando os dois lados ao quadrado, obtemos\r
2 = \frac{p^2}{q^2} \quad\Longrightarrow\quad p^2 = 2\,q^2.\r
Como p^2 é o dobro de um inteiro, segue que p^2 é par, e portanto p também é par (pois se p fosse ímpar, p^2 seria ímpar).

Passo 4

Se p é par, existe k\in\mathbb{Z} tal que p = 2k. Substituindo em p^2 = 2q^2 dá\r
(2k)^2 = 2q^2 \;\Longrightarrow\; 4k^2 = 2q^2 \;\Longrightarrow\; q^2 = 2k^2.\r
Logo q^2 é par, e portanto q também é par.

Passo 5

Chegamos ao fato de que p e q são ambos pares, isto é, têm 2 como divisor comum. Isso contradiz a hipótese \gcd(p,q)=1. A suposição de que \sqrt{2} fosse racional leva a uma contradição.

Resposta

Portanto, \sqrt{2} é irracional.

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