Prove os seguintes teoremas:
Prove que
é um número irracional.
Prove que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
não pode ser escrito como quociente de dois inteiros, ou seja, que
Passo 2
Suponha, por contradição, que
seja racional. Então existem inteiros
e
tais que
e\r
Passo 3
Elevando os dois lados ao quadrado, obtemos\r
Como
é o dobro de um inteiro, segue que
é par, e portanto
também é par (pois se
fosse ímpar,
seria ímpar).
Passo 4
Se
é par, existe
tal que
. Substituindo em
dá\r
Logo
é par, e portanto
também é par.
Passo 5
Chegamos ao fato de que
e
são ambos pares, isto é, têm
como divisor comum. Isso contradiz a hipótese
. A suposição de que
fosse racional leva a uma contradição.
Resposta
Portanto,
é irracional.