Sejam alpha, beta e gamma as medidas dos ângulos internos de um triângulo. Se
l sen alphasen beta=35 sen alphasen gamma=1
e o perímetro do triângulo é 44, então a medida do maior lado desse triângulo é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um triângulo com ângulos internos alpha, beta e gamma. A gente sabe que:
sin alphasin beta = 35 e sin alphasin gamma = 1
Além disso, o perímetro do triângulo é 44. Nosso objetivo é encontrar a medida do maior lado desse triângulo. Para resolver isso, vamos usar a Lei dos Senos, que relaciona os lados de um triângulo com os senos de seus ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei dos Senos. Ela diz que, em qualquer triângulo:
asin alpha = bsin beta = csin gamma = 2R
Onde a, b, c são os lados opostos aos ângulos alpha, beta, gamma respectivamente, e R é o raio do circuncentro do triângulo. Para simplificar, podemos dizer que os lados são proporcionais aos senos dos seus ângulos.

Passo 3

Vamos usar as relações que temos:
  1. sin alphasin beta = 35, ou seja, sin alpha = 35 sin beta
  2. sin alphasin gamma = 1, então sin alpha = sin gamma
Como sin gamma = sin alpha, isso significa que gamma = alpha ou gamma = pi - alpha. Mas como estamos num triângulo, a soma dos ângulos é pi, então gamma = alpha.

Passo 4

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180^circ ou pi radianos. Então:
alpha + beta + gamma = pi
Como gamma = alpha, a equação fica:
alpha + beta + alpha = pi Rightarrow 2alpha + beta = pi

Passo 5

Queremos expressar beta em termos de alpha:
beta = pi - 2alpha
Agora, vamos voltar à relação dos senos que temos:
sin alpha = 35 sin beta
Substituindo beta = pi - 2alpha na equação:
sin alpha = 35 sin (pi - 2alpha)
Sabemos que sin (pi - x) = sin x, então:
sin alpha = 35 sin 2alpha

Passo 6

Vamos lembrar que sin 2alpha = 2 sin alpha cos alpha. Então:
sin alpha = 35 cdot 2 sin alpha cos alpha
Simplificando:
sin alpha = 65 sin alpha cos alpha
Podemos dividir ambos os lados por sin alpha (desde que sin alpha neq 0, o que é verdade em um triângulo):
1 = 65 cos alpha

Passo 7

Resolvendo para cos alpha:
cos alpha = 56
Agora, podemos encontrar sin alpha usando a identidade sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1:
sin^2 alpha + (56)^2 = 1 Rightarrow sin^2 alpha = 1 - 2536 = 1136
Então:
sin alpha = raiz116

Passo 8

Agora que temos sin alpha e cos alpha, vamos encontrar os ângulos:
Sabemos que gamma = alpha e beta = pi - 2alpha.
Para encontrar os lados, vamos usar a proporcionalidade dos lados com os senos dos ângulos:
a : b : c = sin alpha : sin beta : sin gamma = sin alpha : sin (pi - 2alpha) : sin alpha = sin alpha : sin 2alpha : sin alpha
Substituindo sin 2alpha = 2 sin alpha cos alpha:
a : b : c = sin alpha : 2 sin alpha cos alpha : sin alpha = 1 : 2 cos alpha : 1
Como cos alpha = 56:
a : b : c = 1 : 2 cdot 56 : 1 = 1 : 53 : 1
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar a fração:
a : b : c = 3 : 5 : 3

Passo 9

Isso significa que os lados do triângulo estão na proporção 3, 5 e 3. O lado b é o maior, pois corresponde ao maior ângulo beta.
Sabemos que o perímetro é 44, então:
a + b + c = 44
Substituindo a proporção:
3x + 5x + 3x = 44 Rightarrow 11x = 44 Rightarrow x = 4

Passo 10

Agora, encontramos os lados:
a = 3x = 12, b = 5x = 20, c = 3x = 12

Resposta

O maior lado do triângulo mede 20 unidades.

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