Sejam
,
e
as medidas dos ângulos internos de um triângulo. Se
e o perímetro do triângulo é 44, então a medida do maior lado desse triângulo é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um triângulo com ângulos internos
,
e
. A gente sabe que:
Além disso, o perímetro do triângulo é 44. Nosso objetivo é encontrar a medida do maior lado desse triângulo. Para resolver isso, vamos usar a Lei dos Senos, que relaciona os lados de um triângulo com os senos de seus ângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Lei dos Senos. Ela diz que, em qualquer triângulo:
Onde
,
,
são os lados opostos aos ângulos
,
,
respectivamente, e
é o raio do circuncentro do triângulo. Para simplificar, podemos dizer que os lados são proporcionais aos senos dos seus ângulos.
Passo 3
Vamos usar as relações que temos:
-
, ou seja, -
, então
Como
, isso significa que
ou
. Mas como estamos num triângulo, a soma dos ângulos é
, então
.
Passo 4
Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é
ou
radianos. Então:
Como
, a equação fica:
Passo 5
Queremos expressar
em termos de
:
Agora, vamos voltar à relação dos senos que temos:
Substituindo
na equação:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Vamos lembrar que
. Então:
Simplificando:
Podemos dividir ambos os lados por
(desde que
, o que é verdade em um triângulo):
Passo 7
Resolvendo para
:
Agora, podemos encontrar
usando a identidade
:
Então:
Passo 8
Agora que temos
e
, vamos encontrar os ângulos:
Sabemos que
e
.
Para encontrar os lados, vamos usar a proporcionalidade dos lados com os senos dos ângulos:
Substituindo
:
Como
:
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar a fração:
Passo 9
Isso significa que os lados do triângulo estão na proporção 3, 5 e 3. O lado
é o maior, pois corresponde ao maior ângulo
.
Sabemos que o perímetro é 44, então:
Substituindo a proporção:
Passo 10
Agora, encontramos os lados:
Resposta
O maior lado do triângulo mede 20 unidades.