Sejam
números reais e seja
definida em
por
para todo
. Mostre que
tem um ponto de mínimo local.
Passo 1
O enunciado define a função
com cada
. O conteúdo que vamos usar é cálculo de derivadas: encontraremos
, igualaremos a zero para achar candidatos a extremos e usaremos
para determinar se é mínimo.
Passo 2
Derivando termo a termo, como
, obtemos
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, impomos
, o que dá
Passo 4
Calculamos a segunda derivada:
Como
, a função é estritamente convexa e
é ponto de mínimo (local e global).
Resposta
O ponto de mínimo local de
é