Sejam \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n} números reais e seja f definida em \mathbb{R} por f(x)=\sum_{j=1}^{n}\left(x-\alpha_{j}\right)^{2} para todo n \in \mathbb{N}. Mostre que f tem um ponto de mínimo local.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\sum_{j=1}^{n}(x-\alpha_{j})^{2}
com cada \alpha_{j}\in\mathbb{R}. O conteúdo que vamos usar é cálculo de derivadas: encontraremos f'(x), igualaremos a zero para achar candidatos a extremos e usaremos f''(x) para determinar se é mínimo.

Passo 2

Derivando termo a termo, como \frac{d}{dx}(x-\alpha_{j})^{2}=2(x-\alpha_{j}), obtemos
f'(x)=\sum_{j=1}^{n}2(x-\alpha_{j}) =2\sum_{j=1}^{n}(x-\alpha_{j}) =2\Bigl(nx-\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}\Bigr).

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, impomos f'(x)=0, o que dá
2\bigl(nx-\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad nx=\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j} \quad\Longrightarrow\quad x_{0}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}.

Passo 4

Calculamos a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl[2(nx-\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j})\bigr] =2n.
Como 2n>0, a função é estritamente convexa e x_{0} é ponto de mínimo (local e global).

Resposta

O ponto de mínimo local de f é
x_{0}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}.

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