Construçilo de N via Axiomas de Peano (AP). Associe corretamente os cinco APs expressos como simbolos lígicos (esquerda) com suas correspondentes erplicaçöes (direita).
0 \in \mathrm{~N}
\sigma(x)=\sigma(y) \Rightarrow x=y
\exists \sigma: \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{N}
\forall A \in N: 0 \in A, \sigma(A) \subset A \Rightarrow A=N
0 \notin \sigma(\mathrm{~N})
  1. a) o elemento 0 não é sucessor de ninguém.
  2. b) todo elemento de N possui um único sucessor
  3. c) 0 é um elemento de N
  4. d) a função sucessor é injetiva
  5. e) Principio da Indução

Passo 1

O enunciado apresenta cinco axiomas de Peano em forma simbólica e cinco descrições (a–e). Nosso objetivo é associar cada axioma (numerado de 1 a 5) à descrição correta. Vamos usar o significado de cada fórmula lógica em termos do conjunto \mathbb{N} e da função sucessor \sigma.

Passo 2

O axioma 0 \in \mathbb{N}
simplesmente afirma que o elemento zero pertence a \mathbb{N}. Isso corresponde à descrição
c) 0 é um elemento de N.

Passo 3

O axioma
\sigma(x)=\sigma(y)\;\Rightarrow\;x=y
diz que a função sucessor \sigma é injetiva. Logo corresponde à descrição
d) a função sucessor é injetiva.

Passo 4

O axioma
\exists \,\sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N}
assegura a existência de uma função sucessor definida em todo \mathbb{N}, ou seja, que todo elemento de \mathbb{N} possui um único sucessor. Isso corresponde à descrição
b) todo elemento de N possui um único sucessor.

Passo 5

O axioma
\forall A\subset\mathbb{N}:\;0\in A,\;\sigma(A)\subset A\;\Rightarrow\;A=\mathbb{N}
é justamente o princípio da indução sobre \mathbb{N}. Portanto corresponde à descrição
e) Princípio da Indução.

Passo 6

O axioma
0 \notin \sigma(\mathbb{N})
afirma que zero não está na imagem da função sucessor, i.e., 0 não é sucessor de nenhum elemento. Isso corresponde à descrição
a) o elemento 0 não é sucessor de ninguém.

Resposta

  1. c)
  2. d)
  3. b)
  4. e)
  5. a)

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