Use o principio da indução matemática para provar que, para todo n ∈ N , vale
0+2+4+6+\cdots+2 n=n(n+1)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando indução matemática, que para todo n\in\mathbb{N} vale
0 + 2 + 4 + \cdots + 2n = n(n+1).
O conteúdo aqui é o princípio da indução: você prova um caso base e, em seguida, mostra que se a fórmula vale para um n arbitrário, então vale para n+1.

Passo 2

Caso base n=0:
0 + 2 + 4 + \cdots + 2\cdot 0 = 0,
e o lado direito é
0\,(0+1) = 0.
Portanto a igualdade é verdadeira para n=0.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum n\in\mathbb{N} já tenhamos
\sum_{k=0}^{n}2k = n(n+1).

Passo 4

Passo indutivo: precisamos mostrar que
\sum_{k=0}^{n+1}2k = (n+1)\bigl((n+1)+1\bigr) = (n+1)(n+2).
Mas
\sum_{k=0}^{n+1}2k = \Bigl(\sum_{k=0}^{n}2k\Bigr) + 2(n+1) \;\overset{\text{HI}}=\; n(n+1) + 2(n+1) = (n+1)\bigl(n+2\bigr).
Assim, a fórmula válida para n também vale para n+1.

Passo 5

Tendo estabelecido o caso base e o passo indutivo, concluímos por indução matemática que a igualdade
0 + 2 + 4 + \cdots + 2n = n(n+1)
vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

Por indução, mostramos que para todo n\in\mathbb{N}
0 + 2 + 4 + \cdots + 2n = n(n+1).

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