Sejam
e
pontos no plano.
(a) Encontre a inclinação da reta que contém
e
.
(b) Encontre uma equação da reta que passa por
e
. Quais são as interseções com os eixos?
(c) Encontre o ponto médio do segmento
.
(d) Encontre uma equação para a mediatriz de
.
(e) Encontre uma equação para a circunferência para a qual
é um diâmetro.
(a) Encontre a inclinação da reta que contém
(b) Encontre uma equação da reta que passa por
(c) Encontre o ponto médio do segmento
(d) Encontre uma equação para a mediatriz de
(e) Encontre uma equação para a circunferência para a qual
Passo 1
O enunciado nos dá dois pontos no plano cartesiano:
-
. -
.
As perguntas são:
(a) Encontrar a inclinação (coeficiente angular) da reta que contém e
.
(b) Encontrar uma equação da reta que passa por e
e indicar as interseções com os eixos coordenados.
(c) Encontrar o ponto médio do segmento .
(d) Encontrar uma equação para a mediatriz de .
(e) Encontrar uma equação da circunferência para a qual é um diâmetro.
(a) Encontrar a inclinação (coeficiente angular) da reta que contém
(b) Encontrar uma equação da reta que passa por
(c) Encontrar o ponto médio do segmento
(d) Encontrar uma equação para a mediatriz de
(e) Encontrar uma equação da circunferência para a qual
Agora vamos passo a passo, devagar e explicando cada fórmula que usamos.
Passo 2
(a) Como achar a inclinação de uma reta que passa por dois pontos? A fórmula da inclinação (coeficiente angular)
entre dois pontos
e
é
Aqui usamos
e
. Substituindo:
Agora simplificamos a fração
. Dividindo numerador e denominador por
:
Portanto a inclinação da reta que contém
e
é
.
Passo 3
(b) Para achar uma equação de reta usamos a forma ponto-inclinação. A forma ponto-inclinação diz: reta com inclinação
que passa por um ponto
tem equação
Vamos usar o ponto
e
. Substituindo:
Atenção: aqui cometi uma etapa mental; corrigindo a escrita corretamente:
. Então
Essa é uma equação válida (forma ponto-inclinação). Para obter a forma explícita
(slope-intercept), desenvolvemos:
Primeiro expandir o lado direito:
Primeiro expandir o lado direito:
Agora somamos
aos dois lados. Escrevendo
como
:
Logo uma forma comum da equação é
Essa é a equação da reta que passa por
e
.
Agora as interseções com os eixos:
- Interseção com o eixo
(onde ): substituir em :
Portanto a interseção com o eixo
é
.
- Interseção com o eixo
(onde ): resolver . Multiplicando ambos os lados por :
Portanto a interseção com o eixo
é
.
Dica rápida: conferir que ambos os pontos
e
satisfazem a equação
é uma boa checagem rápida.
Passo 4
(c) O ponto médio entre dois pontos
e
é dado pela fórmula
Aplicando a
e
:
Portanto o ponto médio de
é
.
Passo 5
(d) A mediatriz de um segmento é a reta que passa pelo ponto médio do segmento e é perpendicular ao segmento. Já temos o ponto médio
. Para achar a inclinação da mediatriz precisamos da inclinação da reta
, que já encontramos como
.
A inclinação de uma reta perpendicular a outra é o negativo do inverso da inclinação original. Ou seja, se
então a inclinação perpendicular é
. Aplicando:
(Outra maneira: trocar numerador e denominador e mudar o sinal.)
Agora usamos a forma ponto-inclinação com
e
:
Escrevendo de forma limpa:
Podemos deixar assim ou passar para forma explícita. Vamos desenvolver para
:
Escrevendo
como
:
Se preferir a forma em coeficientes inteiros (forma geral), multiplicar por
:
Qualquer dessas formas é uma equação da mediatriz de
. Confirmação rápida: o ponto médio
satisfaz
.
Passo 6
(e) Circunferência com
como diâmetro: o centro da circunferência é o ponto médio do diâmetro, que já encontramos como
. O raio
é metade do comprimento do diâmetro
. Primeiro achamos o comprimento de
com a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo:
Então o diâmetro vale
e o raio é
A equação padrão de uma circunferência com centro
e raio
é
Aqui
e
. Substituindo:
Ou, limpando os sinais:
Essa é a equação da circunferência cujo diâmetro é
.
Resposta
(a)
(b) Equação da reta:
. Interseções: eixo
:
; eixo
:
.
(c) Ponto médio:
(d) Mediatriz de
:
(equivalentemente
ou
).
(e) Circunferência com
como diâmetro: