Sejam A(-7,4) e B(5,-12) pontos no plano.
(a) Encontre a inclinação da reta que contém A e B.
(b) Encontre uma equação da reta que passa por A e B. Quais são as interseções com os eixos?
(c) Encontre o ponto médio do segmento A B.
(d) Encontre uma equação para a mediatriz de A B.
(e) Encontre uma equação para a circunferência para a qual A B é um diâmetro.

Passo 1

O enunciado nos dá dois pontos no plano cartesiano:
  • A(-7,4).
  • B(5,-12).
As perguntas são:
(a) Encontrar a inclinação (coeficiente angular) da reta que contém A e B.
(b) Encontrar uma equação da reta que passa por A e B e indicar as interseções com os eixos coordenados.
(c) Encontrar o ponto médio do segmento \,AB.
(d) Encontrar uma equação para a mediatriz de \,AB.
(e) Encontrar uma equação da circunferência para a qual \,AB é um diâmetro.
Agora vamos passo a passo, devagar e explicando cada fórmula que usamos.

Passo 2

(a) Como achar a inclinação de uma reta que passa por dois pontos? A fórmula da inclinação (coeficiente angular) \,m entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui usamos (x_1,y_1)=(-7,4) e (x_2,y_2)=(5,-12). Substituindo:
m=\frac{-12-4}{5-(-7)}=\frac{-16}{12}.
Agora simplificamos a fração \dfrac{-16}{12}. Dividindo numerador e denominador por 4:
m=\frac{-16}{12}=\frac{-4}{3}.
Portanto a inclinação da reta que contém A e B é \,m=-\dfrac{4}{3}.

Passo 3

(b) Para achar uma equação de reta usamos a forma ponto-inclinação. A forma ponto-inclinação diz: reta com inclinação \,m que passa por um ponto (x_0,y_0) tem equação
y-y_0=m(x-x_0).
Vamos usar o ponto A(-7,4) e m=-\dfrac{4}{3}. Substituindo:
y-4=-\frac{4}{3}\bigl(x-(-7)\bigr)= -\frac{4}{3}(x+1\underline{?}) .
Atenção: aqui cometi uma etapa mental; corrigindo a escrita corretamente: x-(-7)=x+7. Então
y-4=-\frac{4}{3}(x+7).
Essa é uma equação válida (forma ponto-inclinação). Para obter a forma explícita y=mx+b (slope-intercept), desenvolvemos:
Primeiro expandir o lado direito:
y-4=-\frac{4}{3}x -\frac{4}{3}\cdot 7 = -\frac{4}{3}x -\frac{28}{3}.
Agora somamos 4 aos dois lados. Escrevendo 4 como \dfrac{12}{3}:
y = -\frac{4}{3}x -\frac{28}{3} + \frac{12}{3} = -\frac{4}{3}x -\frac{16}{3}.
Logo uma forma comum da equação é
y=-\frac{4}{3}x-\frac{16}{3}.
Essa é a equação da reta que passa por A e B.
Agora as interseções com os eixos:
  • Interseção com o eixo y (onde x=0): substituir x=0 em y=-\dfrac{4}{3}x-\dfrac{16}{3}:
y(0) = -\frac{4}{3}\cdot 0 -\frac{16}{3} = -\frac{16}{3}.
Portanto a interseção com o eixo y é \bigl(0,-\dfrac{16}{3}\bigr).
  • Interseção com o eixo x (onde y=0): resolver 0=-\dfrac{4}{3}x-\dfrac{16}{3}. Multiplicando ambos os lados por 3:
0 = -4x -16 \quad\Rightarrow\quad -4x = 16 \quad\Rightarrow\quad x=-4.
Portanto a interseção com o eixo x é (-4,0).
Dica rápida: conferir que ambos os pontos A e B satisfazem a equação y=-\dfrac{4}{3}x-\dfrac{16}{3} é uma boa checagem rápida.

Passo 4

(c) O ponto médio entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é dado pela fórmula
\text{ponto médio}=\Bigl(\frac{x_1+x_2}{2},\;\frac{y_1+y_2}{2}\Bigr).é
Aplicando a A(-7,4) e B(5,-12):
\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-7+5}{2}=\frac{-2}{2}=-1,
\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{4+(-12)}{2}=\frac{-8}{2}=-4.
Portanto o ponto médio de \,AB é (-1,-4).

Passo 5

(d) A mediatriz de um segmento é a reta que passa pelo ponto médio do segmento e é perpendicular ao segmento. Já temos o ponto médio M(-1,-4). Para achar a inclinação da mediatriz precisamos da inclinação da reta AB, que já encontramos como m_{AB}=-\dfrac{4}{3}.
A inclinação de uma reta perpendicular a outra é o negativo do inverso da inclinação original. Ou seja, se m_{AB}=\dfrac{p}{q} então a inclinação perpendicular é m_{\perp}=-\dfrac{q}{p}. Aplicando:
m_{\perp}=-\frac{1}{m_{AB}}=-\frac{1}{-\dfrac{4}{3}}=\frac{3}{4}.
(Outra maneira: trocar numerador e denominador e mudar o sinal.)
Agora usamos a forma ponto-inclinação com M(-1,-4) e m_{\perp}=\dfrac{3}{4}:
y-(-4)=\frac{3}{4}\bigl(x-(-1)\bigr).
Escrevendo de forma limpa:
y+4=\frac{3}{4}(x+1).
Podemos deixar assim ou passar para forma explícita. Vamos desenvolver para y:
y+4=\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}\quad\Rightarrow\quad y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}-4.
Escrevendo 4 como \dfrac{16}{4}:
y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}-\frac{16}{4}=\frac{3}{4}x -\frac{13}{4}.
Se preferir a forma em coeficientes inteiros (forma geral), multiplicar por 4:
4y=3x-13 \quad\Rightarrow\quad 3x-4y-13=0.
Qualquer dessas formas é uma equação da mediatriz de AB. Confirmação rápida: o ponto médio (-1,-4) satisfaz y+4=\dfrac{3}{4}(x+1).

Passo 6

(e) Circunferência com AB como diâmetro: o centro da circunferência é o ponto médio do diâmetro, que já encontramos como C=(-1,-4). O raio r é metade do comprimento do diâmetro AB. Primeiro achamos o comprimento de AB com a fórmula da distância entre dois pontos:
\text{dist}(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Substituindo:
\text{dist}(A,B)=\sqrt{(5-(-7))^2+(-12-4)^2}=\sqrt{(12)^2+(-16)^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20.
Então o diâmetro vale \,20 e o raio é
r=\frac{20}{2}=10.
A equação padrão de uma circunferência com centro (x_c,y_c) e raio r é
(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2.
Aqui (x_c,y_c)=(-1,-4) e r=10. Substituindo:
(x-(-1))^2+(y-(-4))^2=10^2.
Ou, limpando os sinais:
(x+1)^2+(y+4)^2=100.
Essa é a equação da circunferência cujo diâmetro é AB.

Resposta

(a) \displaystyle m=-\frac{4}{3}
(b) Equação da reta: \displaystyle y=-\frac{4}{3}x-\frac{16}{3}. Interseções: eixo y: \displaystyle\bigl(0,-\frac{16}{3}\bigr); eixo x: (-4,0).
(c) Ponto médio: (-1,-4)
(d) Mediatriz de AB: \displaystyle y+4=\frac{3}{4}(x+1) (equivalentemente \displaystyle y=\frac{3}{4}x-\frac{13}{4} ou \displaystyle 3x-4y-13=0).
(e) Circunferência com AB como diâmetro: \displaystyle (x+1)^2+(y+4)^2=100

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