Como os gráficos das funções são obtidos a partir do gráfico de
?
Passo 1
O enunciado pede: a partir do gráfico da função
, como obter o gráfico da função
Informações dadas:
- Tem-se o gráfico de
(sem fórmula explícita). - Deve-se descrever as transformações geométricas que levam o gráfico de
ao gráfico de . - Não há outras restrições (usar somente o gráfico de
).
Passo 2
Entender a parte interna: primeiro olhamos para
. Regra geral: substituir
por
com
provoca uma transformação horizontal. Mais precisamente:
- Se formos de
para , cada ponto do gráfico de passa a estar em no gráfico de .
Explicando por que: para a mesma alturaprecisamos de um tal que , ou seja . Logo os -coordenados são divididos por .
Aplicando isso a: o gráfico de é o gráfico de comprimido horizontalmente por fator . Em termos práticos: - Um ponto
em vira em . - Zeros: se
então em a raiz correspondente fica em . - Período (se
for periódico): o período é dividido por .
Passo 3
Agora a parte externa: multiplicar por
, ou seja olhar para
. Regra geral:
é o gráfico de
refletido em relação ao eixo
.
- Geometricamente, cada ponto
do gráfico de vai para .
Aplicando a: após obter (com as abscissas já ajustadas), fazemos uma reflexão vertical. Assim um ponto vira .
Passo 4
Juntando as duas transformações (ordem correta: primeiro a interna, depois a externa):
- Passo A: do gráfico de
obtenha comprimindo horizontalmente por ( -coordenadas divididas por ). - Passo B: sobre o resultado, faça reflexão em relação ao eixo
(trocar sinal das ordenadas).
Resultado em termos de pontos: cada pontodo gráfico original de corresponde a no gráfico de .
Passo 5
Como proceder para desenhar na prática (passo a passo que você pode usar na prova):
- Marque pontos notáveis de
: intercepto com eixo , intercepto com eixo , máximos, mínimos, pontos de inflexão. - Para cada ponto
divida a abscissa por : passe para . - Depois, inverta o sinal das ordenadas: cada
vira . - Una os pontos preservando a forma local (curvatura, concavidade) — a compressão horizontal muda a largura das cristas/vales, a reflexão inverte cima/baixo.
Passo 6
Observações úteis e exemplos curtos para fixar:
- Amplitude: não muda (multiplicador
só reflete, não escala o valor absoluto). - Período (se existir): é dividido por
. - Exemplo concreto: se
, então . Comparações: amplitude (igual), período (antes era ), e o gráfico fica invertido verticalmente (picos viram vales).
Força aí — lembra: primeiro compressão horizontal (dividirpor ), depois reflexão vertical (multiplicar por ).
Resposta
O gráfico de
obtém-se do gráfico de
aplicando-se primeiro uma compressão horizontal por fator
(cada
vai para
) e em seguida uma reflexão em relação ao eixo
(essa imagem vira
).