Como os gráficos das funções são obtidos a partir do gráfico de f ?
y=-f(3 x)

Passo 1

O enunciado pede: a partir do gráfico da função f, como obter o gráfico da função
y = -f(3x)?
Informações dadas:
  • Tem-se o gráfico de f (sem fórmula explícita).
  • Deve-se descrever as transformações geométricas que levam o gráfico de f ao gráfico de y=-f(3x).
  • Não há outras restrições (usar somente o gráfico de f).

Passo 2

Entender a parte interna: primeiro olhamos para f(3x). Regra geral: substituir x por kx com k>0 provoca uma transformação horizontal. Mais precisamente:
  • Se formos de f(x) para f(kx), cada ponto (a,f(a)) do gráfico de f passa a estar em (a/k, f(a)) no gráfico de f(kx).
    Explicando por que: para a mesma altura f(a) precisamos de um x tal que k x = a, ou seja x = a/k. Logo os x-coordenados são divididos por k.
    Aplicando isso a k=3: o gráfico de f(3x) é o gráfico de f comprimido horizontalmente por fator 1/3. Em termos práticos:
  • Um ponto (a,f(a)) em f vira \bigl(\tfrac{a}{3},\,f(a)\bigr) em f(3x).
  • Zeros: se f(a)=0 então em f(3x) a raiz correspondente fica em x=\tfrac{a}{3}.
  • Período (se f for periódico): o período é dividido por 3.

Passo 3

Agora a parte externa: multiplicar por -1, ou seja olhar para -f(3x). Regra geral: y=-g(x) é o gráfico de g(x) refletido em relação ao eixo x.
  • Geometricamente, cada ponto (x,y) do gráfico de g vai para (x,-y).
    Aplicando a g(x)=f(3x): após obter f(3x) (com as abscissas já ajustadas), fazemos uma reflexão vertical. Assim um ponto \bigl(\tfrac{a}{3},\,f(a)\bigr) vira \bigl(\tfrac{a}{3},\,-f(a)\bigr).

Passo 4

Juntando as duas transformações (ordem correta: primeiro a interna, depois a externa):
  • Passo A: do gráfico de f obtenha f(3x) comprimindo horizontalmente por 1/3 ( x-coordenadas divididas por 3).
  • Passo B: sobre o resultado, faça reflexão em relação ao eixo x (trocar sinal das ordenadas).
    Resultado em termos de pontos: cada ponto (a,f(a)) do gráfico original de f corresponde a \bigl(\tfrac{a}{3},\,-f(a)\bigr) no gráfico de y=-f(3x).

Passo 5

Como proceder para desenhar na prática (passo a passo que você pode usar na prova):
  1. Marque pontos notáveis de f: intercepto com eixo x, intercepto com eixo y, máximos, mínimos, pontos de inflexão.
  2. Para cada ponto (a,f(a)) divida a abscissa por 3: passe para \bigl(\tfrac{a}{3},f(a)\bigr).
  3. Depois, inverta o sinal das ordenadas: cada \bigl(\tfrac{a}{3},f(a)\bigr) vira \bigl(\tfrac{a}{3},-f(a)\bigr).
  4. Una os pontos preservando a forma local (curvatura, concavidade) — a compressão horizontal muda a largura das cristas/vales, a reflexão inverte cima/baixo.

Passo 6

Observações úteis e exemplos curtos para fixar:
  • Amplitude: não muda (multiplicador -1 só reflete, não escala o valor absoluto).
  • Período (se existir): é dividido por 3.
  • Exemplo concreto: se f(x)=\sin x, então y=-f(3x)=-\sin(3x). Comparações: amplitude 1 (igual), período 2\pi/3 (antes era 2\pi), e o gráfico fica invertido verticalmente (picos viram vales).
    Força aí — lembra: primeiro compressão horizontal (dividir x por 3), depois reflexão vertical (multiplicar y por -1).

Resposta

O gráfico de y=-f(3x) obtém-se do gráfico de f aplicando-se primeiro uma compressão horizontal por fator 1/3 (cada (a,f(a)) vai para \bigl(\tfrac{a}{3},f(a)\bigr)) e em seguida uma reflexão em relação ao eixo x (essa imagem vira \bigl(\tfrac{a}{3},-f(a)\bigr)).

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