Se f(x)=x^{2}, calcule o quociente da diferença \frac{f(2+h)-f(2)}{h} e simplifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2} e pede que se calcule o quociente de diferença
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}
e que essa expressão seja simplificada. Informações relevantes:
  • A função é f(x)=x^{2}.
  • A expressão pede a avaliação em x=2 e em x=2+h.
  • O quociente envolve divisão por h, portanto pressupõe-se h\neq0 (para a expressão original estar bem definida).

Passo 2

Calcular f(2+h) substituindo x=2+h em f(x)=x^{2}. Usamos a fórmula do quadrado de uma soma: (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Aqui a=2 e b=h, então
f(2+h)=(2+h)^{2}=2^{2}+2\cdot2\cdot h+h^{2}=4+4h+h^{2}.

Passo 3

Calcular f(2). Substituindo x=2 em f(x)=x^{2} obtemos
f(2)=2^{2}=4.
Agora formar a diferença f(2+h)-f(2):
f(2+h)-f(2)=(4+4h+h^{2})-4=4h+h^{2}.

Passo 4

Dividir a diferença por h e simplificar. Temos
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{4h+h^{2}}{h}.
Fatorando h no numerador:
\frac{4h+h^{2}}{h}=\frac{h(4+h)}{h}.
Como h\neq0, cancela-se h e obtém-se a forma simplificada
4+h.

Passo 5

Interpretação didática curta: esse quociente de diferença representa a inclinação da reta secante que passa pelos pontos (2,f(2)) e (2+h,f(2+h)). A simplificação mostrou que essa inclinação é 4+h. Se você quiser o coeficiente angular da reta tangente em x=2 (ou seja, a derivada f'(2)), basta fazer h\to0 e obter f'(2)=4. Mas a resposta pedida (o quociente simplificado) é 4+h.

Resposta

4+h

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