Sejam A e B anéis e sejam N um subanel de
 . Seja 
  um homomorfismo de anéis.
Considere cada afirmação:
Navegaçã
1
2
- Para qualquer 
  e qualquer inteiro positivo 
  tem-se: 
  e 
 . 
- 
  é um subanel de 
 . 
- Se 
  tem elemento identidade 1 , 
  não se reduz ao zero, e F é sobrejetora, então 
  é o elemento identidade de B. 
- F é um isomorfismo se e somente se F é sobrejetora e 
 . 
- Se 
  é um isomorfismo de 
  em 
 , entäo 
  é um isomorfismo de 
  em 
 .
Analise e complete, a cada afirmação, com a opçâo correta.
VERDADEIRA FALSA 
Considere cada afirmação:
Navegaçã
1
2
Analise e complete, a cada afirmação, com a opçâo correta.
VERDADEIRA FALSA
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre homomorfismos de anéis, que são funções entre dois anéis que preservam as operações de adição e multiplicação. A gente tem dois anéis, 
  e 
 , e uma função 
  que é um homomorfismo. Também temos um subanel 
  de 
 . Vamos verificar cinco afirmações sobre essas funções e propriedades de anéis para ver se são verdadeiras ou falsas. Para isso, vamos lembrar de conceitos como imagem de um subanel, elemento identidade, sobrejetividade, núcleo de uma função e isomorfismo de anéis.
Passo 2
Afirmação 1: Para qualquer 
  e qualquer inteiro positivo 
 , temos: 
  e 
 .
Vamos entender isso. Primeiro, 
  faz sentido porque 
  preserva a adição, então somar 
  
  vezes em 
  é o mesmo que somar 
  
  vezes em 
 .
Agora, 
  também é verdadeiro porque 
  preserva a multiplicação. Então, multiplicar 
  por si mesmo 
  vezes antes de aplicar 
  é igual a multiplicar 
  por si mesmo 
  vezes em 
 .
Passo 3
Afirmação 2: 
  é um subanel de 
 .
Aqui, 
  é a imagem do subanel 
  em 
  através de 
 . Para 
  ser um subanel de 
 , ele precisa ser fechado sob adição e multiplicação e conter o elemento zero de 
 .
Como 
  é um homomorfismo, ele preserva essas operações, então realmente 
  será um subanel de 
 .
Passo 4
Afirmação 3: Se 
  tem elemento identidade 1, 
  não se reduz ao zero, e 
  é sobrejetora, então 
  é o elemento identidade de 
 .
Vamos por partes. Se 
  é sobrejetora, todo elemento de 
  é imagem de algum elemento de 
 . Agora, 
  deve atuar como identidade em 
 .
Como 
  preserva a multiplicação, para qualquer 
 , que é 
  para algum 
 , temos 
 , e similarmente 
 . Assim, 
  age como identidade em 
 .
Passo 5
Afirmação 4: 
  é um isomorfismo se e somente se 
  é sobrejetora e 
 .
Um isomorfismo de anéis é uma função que é bijetora (sobrejetora e injetora) e preserva as operações. Se 
 , isso significa que 
  é injetora. Se além disso, 
  é sobrejetora, então 
  é bijetora. Então, 
  sendo sobrejetora e com núcleo trivial implica que é um isomorfismo. E vice-versa, se 
  é um isomorfismo, ele é bijetor e tem núcleo 
 .
Passo 6
Afirmação 5: Se 
  é um isomorfismo de 
  em 
 , então 
  é um isomorfismo de 
  em 
 .
Se 
  é um isomorfismo, então possui uma função inversa 
  que também preserva as operações de adição e multiplicação. Portanto, 
  também é um isomorfismo de 
  em 
 .
Resposta
- Verdadeira
 - Verdadeira
 - Verdadeira
 - Verdadeira
 - Verdadeira