Sejam A, B e C conjuntos. Dadas duas relaçẽs R \subset A \times B e S \subset B \times C, prove que
(S \circ R)^{-1}=R^{-1} \circ S^{-1} .

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dadas relações R\subset A\times B e S\subset B\times C, vale
(S\circ R)^{-1} \;=\; R^{-1}\circ S^{-1}.
Para isso, vamos usar as definições de composição de relações e de inversa de relação.

Passo 2

Pela definição de inversa de uma relação,
(S\circ R)^{-1} =\{(c,a)\mid (a,c)\in S\circ R\}.
Como
S\circ R =\{(a,c)\mid \exists b\in B:\,(a,b)\in R\land(b,c)\in S\},
segue
(S\circ R)^{-1} =\{(c,a)\mid \exists b\in B:\,(a,b)\in R\land(b,c)\in S\}.

Passo 3

Agora, pela definição de composição em R^{-1}\circ S^{-1}, temos
R^{-1}\circ S^{-1} =\{(c,a)\mid \exists b\in B:\,(c,b)\in S^{-1}\land(b,a)\in R^{-1}\}.
Mas (c,b)\in S^{-1} equivale a (b,c)\in S e (b,a)\in R^{-1} equivale a (a,b)\in R. Logo
R^{-1}\circ S^{-1} =\{(c,a)\mid \exists b\in B:\,(b,c)\in S\land(a,b)\in R\}.

Passo 4

Comparando as duas descrições, vemos que ambas são exatamente
\{(c,a)\mid \exists b\in B:\,(a,b)\in R\land(b,c)\in S\}.
Portanto
(S\circ R)^{-1} = R^{-1}\circ S^{-1}.

Resposta

(S\circ R)^{-1} = R^{-1}\circ S^{-1}.

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