Sejam os conjuntos
A=\{1,2,3,4,5,6\}, \quad B=\{a, b, c, d, e, f, g\}, \quad C=\{71,72,73,74,75,76,77,78\}
e as funções f: A \longrightarrow B e g: B \longrightarrow C dadas por
\begin{aligned} & f=\{(1, d),(2, a),(3, e),(4, f),(5, a),(6, b)\} \\\ & g=\{(a, 78),(b, 76),(c, 74),(d, 73),(e, 72),(f, 71),(g, 78)\} \end{aligned}
Encontre a função composta g \circ f: A \longrightarrow C. Diga se a composta é injetora e/ou sobrejetora.

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
A = \{1,2,3,4,5,6\},\quad B = \{a,b,c,d,e,f,g\},\quad C = \{71,72,73,74,75,76,77,78\}
e as funções
f=\{(1,d),(2,a),(3,e),(4,f),(5,a),(6,b)\},\quad g=\{(a,78),(b,76),(c,74),(d,73),(e,72),(f,71),(g,78)\}.
Queremos achar a composta g\circ f\colon A\to C e verificar se ela é injetora e/ou sobrejetora.

Passo 2

Aplicamos definição de composta: para cada x\in A,
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr).
Calculando cada par:
\begin{aligned} f(1)&=d,\;g(d)=73\quad\Rightarrow\;(1,73),\\\ f(2)&=a,\;g(a)=78\quad\Rightarrow\;(2,78),\\\ f(3)&=e,\;g(e)=72\quad\Rightarrow\;(3,72),\\\ f(4)&=f,\;g(f)=71\quad\Rightarrow\;(4,71),\\\ f(5)&=a,\;g(a)=78\quad\Rightarrow\;(5,78),\\\ f(6)&=b,\;g(b)=76\quad\Rightarrow\;(6,76). \end{aligned}
Logo
g\circ f=\{(1,73),(2,78),(3,72),(4,71),(5,78),(6,76)\}.

Passo 3

Para ser injetora, cada elemento de A deve ter imagem distinta em C. Aqui vemos que
(g\circ f)(2)=78\quad\text{e}\quad(g\circ f)(5)=78,
ou seja, dois elementos de A vão para o mesmo valor em C. Logo, g\circ f não é injetora.

Passo 4

Para ser sobrejetora, a imagem de g\circ f deve cobrir todo C. Mas
\Im(g\circ f)=\{71,72,73,76,78\},
que não inclui 74,75,77. Portanto, g\circ f não é sobrejetora.

Resposta

g\circ f=\{(1,73),(2,78),(3,72),(4,71),(5,78),(6,76)\},
não é injetora e não é sobrejetora.

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