Sejam A, B, C e D conjuntos. Mostre as seguintes afirmações: Se wp(A) = wp(B), então A = B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que se os conjuntos potenciais de e são iguais, ou seja, , então necessariamente e são iguais também.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto potencial ( ) e usar alguns conceitos básicos de teoria dos conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o conjunto potencial. O conjunto potencial de um conjunto , denotado por , é o conjunto de todos os subconjuntos de . Por exemplo, se , então .

Passo 3

Agora, queremos mostrar que se , então . Para isso, vamos usar a definição de igualdade de conjuntos: dois conjuntos são iguais se têm exatamente os mesmos elementos.

Passo 4

Vamos assumir que . Isso significa que todo subconjunto de é também um subconjunto de , e vice-versa.

Passo 5

Em particular, mesmo é um subconjunto de , então deve estar em . Como , isso implica que também está em . Ou seja, é um subconjunto de , .

Passo 6

Similarmente, como , está em , então também está em . Logo, é um subconjunto de , .

Passo 7

Se e , então, pela definição de igualdade de conjuntos, .

Resposta

Portanto, mostramos que se , então .

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