Sejam
e
conjuntos. Mostre as seguintes afirmações: Se
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que se os conjuntos potenciais de
e
são iguais, ou seja,
, então necessariamente
e
são iguais também.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto potencial (
) e usar alguns conceitos básicos de teoria dos conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o conjunto potencial. O conjunto potencial de um conjunto
, denotado por
, é o conjunto de todos os subconjuntos de
. Por exemplo, se
, então
.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que se
, então
. Para isso, vamos usar a definição de igualdade de conjuntos: dois conjuntos são iguais se têm exatamente os mesmos elementos.
Passo 4
Vamos assumir que
. Isso significa que todo subconjunto de
é também um subconjunto de
, e vice-versa.
Passo 5
Em particular,
mesmo é um subconjunto de
, então
deve estar em
. Como
, isso implica que
também está em
. Ou seja,
é um subconjunto de
,
.
Passo 6
Similarmente, como
,
está em
, então
também está em
. Logo,
é um subconjunto de
,
.
Passo 7
Se
e
, então, pela definição de igualdade de conjuntos,
.
Resposta
Portanto, mostramos que se
, então
.