Sejam
e
. Estabelecemos uma regra de
e
de modo que cada
na tabela, associa-se o
colocado à sua direita. Quais das tabelas a seguir dão origem a funções
?
Table 1: (c)\captionsetup{labelformat=empty}
x
y
a
2
b
2
c
2
d
0
e
0
Table 1: (c)
\captionsetup{labelformat=empty}
| x | y |
| a | 2 |
| b | 2 |
| c | 2 |
| d | 0 |
| e | 0 |
Passo 1
O enunciado dá os conjuntos
e
e uma tabela que associa a cada
um
. Dados fornecidos:
-
. -
.
Pergunta a responder: a tabela (c) apresentada no enunciado dá origem a uma função? (ou seja, a regra mostrada é uma função com domínio e contradomínio ?)
Passo 2
Definição útil e intuitiva de função (explicação didática):
- Uma regra
é uma função de em se, para cada elemento do domínio , a regra associa exatamente um elemento do contradomínio . - “Exatamente um” significa duas coisas: (i) nenhum
pode ficar sem imagem; (ii) nenhum pode ter duas imagens diferentes ao mesmo tempo. - É permitido que elementos diferentes de
tenham a mesma imagem em . Ou seja, e podem mapear para o mesmo ; isso não impede ser função.
Passo 3
Critérios práticos para verificar se uma tabela representa uma função
:
- Verificar que cada elemento de
aparece na tabela com alguma imagem (nenhum elemento de pode faltar). - Verificar que nenhum elemento de
aparece associado a mais de um valor diferente (nenhuma linha conflitante com o mesmo tendo dois distintos). - Verificar que todas as imagens listadas pertencem ao conjunto
(a regra não pode dar um valor fora do contradomínio).
Se os três itens forem verdadeiros, então a tabela define uma função.
Passo 4
Peguei os dados da tabela (c) do enunciado e escrevo as associações que aparecem (cada par mostrado na tabela):
Verificações:
- Cada elemento de
aparece exatamente uma vez na lista acima, portanto critério (1) e (2) estão satisfeitos (nenhum elemento falta e nenhum tem duas imagens diferentes). - As imagens usadas são
e . Como e (pois ), o critério (3) também está satisfeito.
Passo 5
Conclusão detalhada e interpretação (didática):
- Todos os requisitos para que a tabela defina uma função
são atendidos: cada tem exatamente uma imagem em . - Nota pedagógica: o fato de
terem a mesma imagem e terem a mesma imagem não impede ser função — isso só faria diferença para injectividade (injetividade exige imagens distintas para entradas distintas), mas aqui a pergunta é apenas sobre ser função. - A imagem (ou conjunto-valor) dessa função é
.
Resposta
Sim. A tabela (c) dá origem a uma função
.