Sejam A=\{a, b, c, d, e\} e B=\{0,1,2,3,4\}. Estabelecemos uma regra de A e B de modo que cada x \in A na tabela, associa-se o y \in B colocado à sua direita. Quais das tabelas a seguir dão origem a funções f: A \rightarrow B ?
Table 1: (c)
\captionsetup{labelformat=empty}
x y
a 2
b 2
c 2
d 0
e 0

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos A e B e uma tabela que associa a cada x\in A um y\in B. Dados fornecidos:
  • A=\{a,b,c,d,e\}.
  • B=\{0,1,2,3,4\}.
    Pergunta a responder: a tabela (c) apresentada no enunciado dá origem a uma função f: A \to B? (ou seja, a regra mostrada é uma função com domínio A e contradomínio B ?)

Passo 2

Definição útil e intuitiva de função (explicação didática):
  • Uma regra f é uma função de A em B se, para cada elemento x do domínio A, a regra associa exatamente um elemento y do contradomínio B.
  • “Exatamente um” significa duas coisas: (i) nenhum x\in A pode ficar sem imagem; (ii) nenhum x\in A pode ter duas imagens diferentes ao mesmo tempo.
  • É permitido que elementos diferentes de A tenham a mesma imagem em B. Ou seja, a e b podem mapear para o mesmo y; isso não impede ser função.

Passo 3

Critérios práticos para verificar se uma tabela representa uma função f: A \to B:
  1. Verificar que cada elemento de A aparece na tabela com alguma imagem (nenhum elemento de A pode faltar).
  2. Verificar que nenhum elemento de A aparece associado a mais de um valor diferente (nenhuma linha conflitante com o mesmo x tendo dois y distintos).
  3. Verificar que todas as imagens listadas pertencem ao conjunto B (a regra não pode dar um valor fora do contradomínio).
    Se os três itens forem verdadeiros, então a tabela define uma função.

Passo 4

Peguei os dados da tabela (c) do enunciado e escrevo as associações que aparecem (cada par mostrado na tabela):
a \mapsto 2,\qquad b \mapsto 2,\qquad c \mapsto 2,\qquad d \mapsto 0,\qquad e \mapsto 0.
Verificações:
  • Cada elemento de A=\{a,b,c,d,e\} aparece exatamente uma vez na lista acima, portanto critério (1) e (2) estão satisfeitos (nenhum elemento falta e nenhum tem duas imagens diferentes).
  • As imagens usadas são 2 e 0. Como 0\in B e 2\in B (pois B=\{0,1,2,3,4\}), o critério (3) também está satisfeito.

Passo 5

Conclusão detalhada e interpretação (didática):
  • Todos os requisitos para que a tabela defina uma função f: A\to B são atendidos: cada x\in A tem exatamente uma imagem em B.
  • Nota pedagógica: o fato de a,b,c terem a mesma imagem 2 e d,e terem a mesma imagem 0 não impede ser função — isso só faria diferença para injectividade (injetividade exige imagens distintas para entradas distintas), mas aqui a pergunta é apenas sobre ser função.
  • A imagem (ou conjunto-valor) dessa função é \mathrm{Im}(f)=\{0,2\}.

Resposta

Sim. A tabela (c) dá origem a uma função f: A \to B.

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