Sejam A=\{a, b, c, d, e\} e B=\{0,1,2,3,4\}. Estabelecemos uma regra de A e B de modo que cada x \in A na tabela, associa-se o y \in B colocado à sua direita. Quais das tabelas a seguir dão origem a funções f: A \rightarrow B ?
Table 1: (a)
\captionsetup{labelformat=empty}
x y
a 4
b 3
c 3
d 2
e 1

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados: A=\{a,b,c,d,e\} e B=\{0,1,2,3,4\}.
  • A tabela (a) associa, linha a linha, os seguintes pares (peguei esses pares da tabela): (a,4), (b,3), (c,3), (d,2), (e,1).
  • Pergunta: a tabela (a) “dá origem a funções” f: A\to B? Ou seja, a associação apresentada define uma função de A em B?

Passo 2

Lembrete do que significa "definir uma função f:A\to B".
  • Definição (explicada devagar): uma regra que associa a cada elemento do domínio A exatamente um elemento do contradomínio B.
    • “Cada” significa: todo elemento de A deve aparecer na lista de associações.
    • “Exatamente um” significa: para cada x\in A há uma única imagem y\in B; não pode haver um mesmo x com duas imagens diferentes.
  • É permitido que duas entradas diferentes de A tenham a mesma imagem em B (isso apenas significa que a função não é injetora), e é permitido que nem todos os elementos de B apareçam como imagens (isso apenas significa que a função não é sobrejetora). Essas coisas não impedem ser uma função.

Passo 3

Verificar se todo elemento de A aparece na tabela.
  • A tabela dá pares para a,b,c,d,e. Ou seja, para cada elemento de A há uma linha com sua imagem: (a,4), (b,3), (c,3), (d,2), (e,1).
  • Conclusão parcial: a condição “todo elemento de A tem imagem” está satisfeita.

Passo 4

Verificar unicidade da imagem para cada elemento de A.
  • Olhando as linhas, cada elemento de A aparece exatamente uma vez na tabela (não há duas linhas com o mesmo x e imagens diferentes).
  • Portanto a condição “cada x\in A tem exatamente uma imagem” está satisfeita.

Passo 5

Verificar se as imagens pertencem ao conjunto B.
  • As imagens listadas na tabela são 4,3,3,2,1. Peguei esses números da tabela.
  • Todos esses números pertencem a B=\{0,1,2,3,4\}. Logo as imagens estão no contradomínio B, como deve ser.

Passo 6

Conclusão e observações adicionais úteis para a prova (como reconhecer injetividade/sobrejetividade).
  • Como todas as condições da definição de função são satisfeitas (todo x\in A tem exatamente uma imagem em B, e as imagens pertencem a B), a tabela (a) de fato define uma função f: A\to B.
  • Observação extra (útil na prova): a função não é injetora porque b e c têm a mesma imagem 3 (ou seja, \,f(b)=f\text{(c)}=3).
  • Observação extra: a função não é sobrejetora porque 0 não aparece entre as imagens (as imagens efetivas são \{1,2,3,4\}, faltando 0).

Resposta

A tabela (a) dá origem a uma função f: A \rightarrow B.

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