Sejam
e
. Estabelecemos uma regra de
e
de modo que cada
na tabela, associa-se o
colocado à sua direita. Quais das tabelas a seguir dão origem a funções
?
Table 1: (a)\captionsetup{labelformat=empty}
x
y
a
4
b
3
c
3
d
2
e
1
Table 1: (a)
\captionsetup{labelformat=empty}
| x | y |
| a | 4 |
| b | 3 |
| c | 3 |
| d | 2 |
| e | 1 |
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dados:
e . - A tabela (a) associa, linha a linha, os seguintes pares (peguei esses pares da tabela):
, , , , . - Pergunta: a tabela (a) “dá origem a funções”
? Ou seja, a associação apresentada define uma função de em ?
Passo 2
Lembrete do que significa "definir uma função
".
- Definição (explicada devagar): uma regra que associa a cada elemento do domínio
exatamente um elemento do contradomínio . - “Cada” significa: todo elemento de
deve aparecer na lista de associações. - “Exatamente um” significa: para cada
há uma única imagem ; não pode haver um mesmo com duas imagens diferentes.
- “Cada” significa: todo elemento de
- É permitido que duas entradas diferentes de
tenham a mesma imagem em (isso apenas significa que a função não é injetora), e é permitido que nem todos os elementos de apareçam como imagens (isso apenas significa que a função não é sobrejetora). Essas coisas não impedem ser uma função.
Passo 3
Verificar se todo elemento de
aparece na tabela.
- A tabela dá pares para
. Ou seja, para cada elemento de há uma linha com sua imagem: , , , , . - Conclusão parcial: a condição “todo elemento de
tem imagem” está satisfeita.
Passo 4
Verificar unicidade da imagem para cada elemento de
.
- Olhando as linhas, cada elemento de
aparece exatamente uma vez na tabela (não há duas linhas com o mesmo e imagens diferentes). - Portanto a condição “cada
tem exatamente uma imagem” está satisfeita.
Passo 5
Verificar se as imagens pertencem ao conjunto
.
- As imagens listadas na tabela são
. Peguei esses números da tabela. - Todos esses números pertencem a
. Logo as imagens estão no contradomínio , como deve ser.
Passo 6
Conclusão e observações adicionais úteis para a prova (como reconhecer injetividade/sobrejetividade).
- Como todas as condições da definição de função são satisfeitas (todo
tem exatamente uma imagem em , e as imagens pertencem a ), a tabela (a) de fato define uma função . - Observação extra (útil na prova): a função não é injetora porque
e têm a mesma imagem (ou seja, ). - Observação extra: a função não é sobrejetora porque
não aparece entre as imagens (as imagens efetivas são , faltando ).
Resposta
A tabela (a) dá origem a uma função
.