Sejam A(1,2,3), B(-2,-3,1), C(-3, 1,2), D(2,0,2), E(3,3,3), F(2,2,0), G(3,5,1), H(-1 / 2,- 1 / 2,2), I(5 / 2,5 / 2,3 / 2), J(-2,-1,-1), K(0,-1 / 2,1 / 2) os pontos apresentados. Determine a área do Triângulo com vértices em A, B e D .

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(1,2,3), B(-2,-3,1) e D(2,0,2) e pede a área do triângulo ABD. Para isso vamos usar produto vetorial: a área do paralelogramo formado pelos vetores AB e AD é |ABtimesAD|, e a área do triângulo é metade desse valor.

Passo 2

Calculamos os vetores dos lados a partir de A:
AB = B - A = (-2-1,,-3-2,,1-3) = (-3,,-5,,-2),
AD = D - A = (2-1,,0-2,,2-3) = (1,,-2,,-1)

Passo 3

Agora computamos o produto vetorial em forma de determinante:
ABtimesAD = i & j & k -3 & -5 & -2 1 & -2 & -1 = i,( (-5)(-1)-(-2)(-2)) - j,( (-3)(-1)-(-2)(1)) + k,( (-3)(-2)-(-5)(1))
Fazendo as contas internas:
ABtimesAD = i(5-4) - j(3-(-2)) + k(6-(-5)) = (1,,-5,,11)

Passo 4

A magnitude desse vetor é
|ABtimesAD| = raiz1^2+(-5)^2+11^2 = raiz1+25+121 = raiz147 =7raiz3

Passo 5

Finalmente, a área do triângulo ABD é metade da área do paralelogramo:
Áreatriang<= ABD =12,|ABtimesAD| =12times7raiz3 =7raiz32 Á

Resposta

7raiz32

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