Para uma viga engastada submetida a uma carga, modele a deflexão da viga com módulo de elasticidade de 70 MPa e secção transversal quadrada de b=0.30 m, considere o comprimento da barra de L=10 m. A viga está sujeita a uma distribuição de carga cujo módulo varia com x :
omega(x)=omega0 sin (pi xLx)
Sendo omega0=4.6 kN / m.
A solução geral para a viga engastada é
v(x)=C1+C2 x+C32 x^2+C46 x^3+omega0 L^4E I pi^4 sin (pi xL)
a) Resolva com detalhamento a equação diferencial para determinar o deslocamento vertical e o momento fletor ao longo da viga. Calcule os valores numéricos da questão.

Passo 1

O enunciado trata de uma viga engastada de comprimento L=10,m, módulo de elasticidade E=70,MPa e seção quadrada de lado b=0,30,m sujeita à carga distribuída
omega(x)=omega0sinl(pi xLr),
com omega0=4,6,kN/m. A equação diferencial de balanço do momento de flexão é
E I,v^(4)(x)=omega(x),
cuja solução geral dada é
v(x)=C1+C2x+C32x^2+C46x^3+omega0L^4E Ipi^4sinl(pi xLr)
Vamos usar as condições de contorno de engaste
;v(0)=v'(0)=v(L)=v'(L)=0, para determinar C1,C2,C3,C4 e depois obter v(x) e o momento fletor
M(x)=-E I,v''(x)

Passo 2

Calculamos o momento de inércia da seção quadrada e o parâmetro adimensional da parte oscilante:
I=b^412=(0,30)^412=0,000675;m^4, E=70times10^6;N/m^2,
E I=70times10^6times0,000675=4,725times10^4;Ncdot m^2,
Aequivomega0,L^4E I,pi^4 =4,6times10^3times10^44,725times10^4,pi^4 approx9,9913;m

Passo 3

Usamos as quatro condições de contorno.
  1. v(0)=0 C1+underbraceAsin00=0 ;Rightarrow; C1=0
  2. v'(x)=C2+C3x+tfracC42x^2 +ApiLcosl(tfracpi xLr),
    logo v'(0)=0 C2+ApiL=0 ;Rightarrow; C2=-ApiL=-9,9913pi10approx-3,1389
  3. v'(L)=0 implica C2+10C3+50C4 -ApiL=0 ;Rightarrow; 10C3+50C4=0 ;Rightarrow; C3=-5,C4
  4. v(L)=0 implica C2,L+tfracC32L^2+tfracC46L^3=0 ;Rightarrow; 10C2+50C3+10006C4=0 Substituindo C3=-5C4 e C2, obtemos 10(-Api10)-250C4+166,6667,C4=0 ;Rightarrow; C4=10,C283,3333approx-0,3767, C3=-5C4approx1,8835

Passo 4

Com os coeficientes achados, escrevemos
v(x) =-3,1389,x + 1,88352,x^2 + -0,37676,x^3 +9,9913sinl(tfracpi x10r)
O momento fletor é
M(x)=-E I,v''(x), v''(x) = C3+C4,x - Al(tfracpiLr)^2sinl(tfracpi xLr),
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M(x) =-4,725times10^4 l[ 1,8835 -0,3767,x -9,9913l(tfracpi10r)^2 sinl(tfracpi x10r) r] ;Ncdot m

Resposta

v(x)= -3,1389,x+0,9418,x^2-0,06278,x^3 +9,9913sinl(tfracpi x10r),m
M(x)= -4,725times10^4l[1,8835-0,3767,x-0,9861sin(tfracpi x10)r],N·m

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