Sejam
. Mostre que
, com
raiz de
, é solução da equação
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dados:
. (Observação: não aparece na equação que vamos usar.) - Definição:
é raiz da equação . Ou seja, satisfaz . - Função proposta:
. - Objetivo: mostrar que
é solução da equação diferencial
Nada ainda sobre como fazer — só listei os dados e o que é pedido.
Passo 2
Calcular a derivada de
. A função é
. Para derivar usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
. Aqui
e
(porque
é constante em relação a
). Assim
Explicando devagar: multiplicamos a função exponencial pelo coeficiente que estava dentro do expoente (isso é a regra da cadeia).
Passo 3
Substituir
e
na equação
. Usando o resultado do passo anterior,
Passo 4
Fatorar o termo comum
. Agrupando os termos obtemos
Observação importante (matemática): para todo
tem-se
. Ou seja, o fator
nunca anula a expressão.
Passo 5
Usar a hipótese sobre
. Como
é raiz de
, tem-se
. Substituindo isso na expressão do passo anterior gera
Portanto a combinação
é identicamente zero para toda
, ou seja,
satisfaz a equação diferencial proposta.
Passo 6
Comentário didático rápido sobre o porquê disso funcionar (útil para a prova). A equação
é uma equação diferencial linear de primeira ordem e homogênea com coeficientes constantes. Se
pode-se dividir por
e escrever
o que é equivalente a
. Integrando ambos os lados obtemos
, daí
. Comparando com
vemos que
, que é exatamente a solução de
. Isso explica por que a forma exponencial é a escolha natural e por que obter
dessa equação linear leva a soluções da ODE. (Se
, a equação original reduz a
; nesse caso, para existir um
que satisfaça
é necessário
, e então a equação é trivial
.)