Sejam a, b, c \in \mathbb{R}. Mostre que
y(t)=e^{r t}, com r raiz de a r+b=0, é solução da equação a y^{\prime}+b y=0.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados: a,b,c\in\mathbb{R}. (Observação: c não aparece na equação que vamos usar.)
  • Definição: r é raiz da equação a r + b = 0. Ou seja, r satisfaz a r + b = 0.
  • Função proposta: y(t)=e^{r t}.
  • Objetivo: mostrar que y(t)=e^{r t} é solução da equação diferencial
a\,y'(t)+b\,y(t)=0.
Nada ainda sobre como fazer — só listei os dados e o que é pedido.

Passo 2

Calcular a derivada de y(t). A função é y(t)=e^{r t}. Para derivar usamos a regra da cadeia: a derivada de e^{u(t)} é u'(t)e^{u(t)}. Aqui u(t)=r t e u'(t)=r (porque r é constante em relação a t). Assim
y'(t)=\frac{d}{dt}e^{r t}=r\,e^{r t}.
Explicando devagar: multiplicamos a função exponencial pelo coeficiente que estava dentro do expoente (isso é a regra da cadeia).

Passo 3

Substituir y e y' na equação a\,y'+b\,y. Usando o resultado do passo anterior,
a\,y'(t)+b\,y(t)=a\bigl(r\,e^{r t}\bigr)+b\bigl(e^{r t}\bigr).

Passo 4

Fatorar o termo comum e^{r t}. Agrupando os termos obtemos
a\,y'(t)+b\,y(t)=\bigl(a r + b\bigr)\,e^{r t}.
Observação importante (matemática): para todo t\in\mathbb{R} tem-se e^{r t}\neq 0. Ou seja, o fator e^{r t} nunca anula a expressão.

Passo 5

Usar a hipótese sobre r. Como r é raiz de a r + b = 0, tem-se a r + b = 0. Substituindo isso na expressão do passo anterior gera
a\,y'(t)+b\,y(t)=0\cdot e^{r t}=0.
Portanto a combinação a\,y'+b\,y é identicamente zero para toda t, ou seja, y(t)=e^{r t} satisfaz a equação diferencial proposta.

Passo 6

Comentário didático rápido sobre o porquê disso funcionar (útil para a prova). A equação a\,y'+b\,y=0 é uma equação diferencial linear de primeira ordem e homogênea com coeficientes constantes. Se a\neq0 pode-se dividir por a e escrever
y'(t) + \frac{b}{a}\,y(t)=0,
o que é equivalente a \dfrac{y'}{y} = -\dfrac{b}{a}. Integrando ambos os lados obtemos \ln|y| = -\dfrac{b}{a}t + C, daí y(t)=C e^{-(b/a)t}. Comparando com y(t)=e^{r t} vemos que r=-(b/a), que é exatamente a solução de a r + b = 0. Isso explica por que a forma exponencial é a escolha natural e por que obter r dessa equação linear leva a soluções da ODE. (Se a=0, a equação original reduz a b\,y=0; nesse caso, para existir um r que satisfaça a r + b=0 é necessário b=0, e então a equação é trivial 0=0.)

Resposta

a\,y'(t)+b\,y(t)=0.

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