Considere:
velocidade da água do rio em relação às margens; vb = velocidade gerada pelo motor do barco em relação às margens do rio. O tempo que o barco leva para atravessar o rio é
a) maior quando a velocidade vr aumenta.
b) menor quando a velocidade vr aumenta.
c) independente da velocidade vr.
d) maior quando a velocidade vr diminui.
e) menor quando a velocidade vr diminui.
a) maior quando a velocidade vr aumenta.
b) menor quando a velocidade vr aumenta.
c) independente da velocidade vr.
d) maior quando a velocidade vr diminui.
e) menor quando a velocidade vr diminui.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações:
-
é a velocidade da água do rio em relação às margens. -
é a velocidade gerada pelo motor do barco em relação às margens do rio (essa é a descrição dada no enunciado).
O enunciado pergunta como o tempo que o barco leva para atravessar o rio varia quandoaumenta ou diminui, e oferece cinco alternativas (a–e), entre elas a alternativa (c) que diz que o tempo é independente de .
Passo 2
Sobre a ambiguidade e a escolha do modelo:
- Há uma ambiguidade comum: às vezes em problemas parecidos
é tomada como a velocidade do barco em relação à água (velocidade que o motor fornece no referencial da água), e outras vezes como a velocidade do barco em relação às margens (já incluindo o efeito da corrente). - Vou adotar a interpretação padrão para este tipo de questão elementar:
é a velocidade do barco em relação à água, ou seja, a velocidade que o motor dá ao barco no referencial da água. Essa escolha é natural porque é o caso em que a resposta simples "independente de " costuma ser discutida em aulas introdutórias. Também explicarei rapidamente o caso alternativo no final para você não ficar em dúvida.
Passo 3
Conceito físico e fórmula básica — velocidade relativa e decomposição em componentes:
- Regra de ouro de velocidades relativas (vetorial): a velocidade do barco em relação às margens é a soma vetorial da velocidade do barco em relação à água com a velocidade da água em relação às margens. Em símbolos:
- Para atravessar o rio costuma-se separar em duas direções ortogonais: direção perpendicular às margens (direção da travessia, chamo de eixo
) e direção paralela às margens (direção do escoamento do rio, chamo de eixo ). - Se o barco aponta o motor exatamente na direção perpendicular às margens (isto é, tenta ir direto para o outro lado, sem compensar a corrente), então a velocidade do barco em relação à água tem componentes
no sistema de eixos
(onde
é o cruzamento,
o sentido do fluxo).
- A corrente tem componente somente no sentido paralelo às margens:
- Somando vetorialmente:
Passo 4
Cálculo do tempo de travessia no modelo adotado:
- Suponha que a largura do rio seja
(distância perpendicular entre as margens). O tempo de travessia é o tempo necessário para percorrer a componente perpendicular da velocidade em relação às margens. Pelo movimento retilíneo uniforme nessa direção:
- No caso acima, a componente perpendicular da velocidade do barco em relação às margens é simplesmente
(porque a corrente só age na direção ). Portanto
- Note o ponto-chave:
não contém . Ou seja, para esse modelo (barco motor apontado perpendicularmente à margem, medido em relação à água), o tempo de travessia é independente de .
Passo 5
Interpretação física intuitiva e exemplo numérico para fixar:
- Intuitivamente: a corrente arrasta o barco na direção do fluxo (faz o barco desembarcar mais rio abaixo), mas não reduz a velocidade com que o barco se aproxima do outro lado quando o motor empurra perpendicularmente — a componente que atravessa é determinada só por
. - Exemplo numérico rápido: suponha
m e m/s. Então
Se a corrente aumentar de
para
m/s, o barco vai desembarcar mais abaixo (deslocamento paralelo aumenta), mas o tempo continua
.
Passo 6
Observação sobre o caso alternativo (para não ficar com dúvida):
- Se, por outro lado,
fosse a velocidade do barco medida em relação às margens já (ou seja, já incluísse o efeito da corrente), a decomposição e a dependência mudariam e o tempo poderia depender de conforme a situação. - Também, se o piloto não apontar o motor perpendicularmente à margem mas escolher uma orientação para compensar a corrente e desembarcar exatamente em frente ao ponto de partida, a componente perpendicular de
teria que ser maior ou menor dependendo de e então o tempo poderia passar a depender de . Esses são casos mais avançados e não são o cenário típico da alternativa que diz "independente de ".
Resposta
c) independente da velocidade
.