Considere: \mathrm{vr}= velocidade da água do rio em relação às margens; vb = velocidade gerada pelo motor do barco em relação às margens do rio. O tempo que o barco leva para atravessar o rio é
a) maior quando a velocidade vr aumenta.
b) menor quando a velocidade vr aumenta.
c) independente da velocidade vr.
d) maior quando a velocidade vr diminui. x
e) menor quando a velocidade vr diminui.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • \mathrm{v_r} é a velocidade da água do rio em relação às margens.
  • \mathrm{v_b} é a velocidade gerada pelo motor do barco em relação às margens do rio (essa é a descrição dada no enunciado).
    O enunciado pergunta como o tempo que o barco leva para atravessar o rio varia quando \mathrm{v_r} aumenta ou diminui, e oferece cinco alternativas (a–e), entre elas a alternativa (c) que diz que o tempo é independente de \mathrm{v_r}.

Passo 2

Sobre a ambiguidade e a escolha do modelo:
  • Há uma ambiguidade comum: às vezes em problemas parecidos \mathrm{v_b} é tomada como a velocidade do barco em relação à água (velocidade que o motor fornece no referencial da água), e outras vezes como a velocidade do barco em relação às margens (já incluindo o efeito da corrente).
  • Vou adotar a interpretação padrão para este tipo de questão elementar: \mathrm{v_b} é a velocidade do barco em relação à água, ou seja, a velocidade que o motor dá ao barco no referencial da água. Essa escolha é natural porque é o caso em que a resposta simples "independente de \mathrm{v_r}" costuma ser discutida em aulas introdutórias. Também explicarei rapidamente o caso alternativo no final para você não ficar em dúvida.

Passo 3

Conceito físico e fórmula básica — velocidade relativa e decomposição em componentes:
  • Regra de ouro de velocidades relativas (vetorial): a velocidade do barco em relação às margens é a soma vetorial da velocidade do barco em relação à água com a velocidade da água em relação às margens. Em símbolos:
\vec v_{\text{barco/ margem}}=\vec v_{\text{barco/ água}}+\vec v_{\text{água/ margem}}.áá
  • Para atravessar o rio costuma-se separar em duas direções ortogonais: direção perpendicular às margens (direção da travessia, chamo de eixo x) e direção paralela às margens (direção do escoamento do rio, chamo de eixo y).
  • Se o barco aponta o motor exatamente na direção perpendicular às margens (isto é, tenta ir direto para o outro lado, sem compensar a corrente), então a velocidade do barco em relação à água tem componentes
\vec v_{\text{barco/ água}}=(v_b,\,0)á
no sistema de eixos (x,y) (onde x é o cruzamento, y o sentido do fluxo).
  • A corrente tem componente somente no sentido paralelo às margens:
\vec v_{\text{água/ margem}}=(0,\,v_r).á
  • Somando vetorialmente:
\vec v_{\text{barco/ margem}}=(v_b,\,v_r).

Passo 4

Cálculo do tempo de travessia no modelo adotado:
  • Suponha que a largura do rio seja \,D (distância perpendicular entre as margens). O tempo de travessia é o tempo necessário para percorrer a componente perpendicular x da velocidade em relação às margens. Pelo movimento retilíneo uniforme nessa direção:
t=\frac{\text{distância perpendicular}}{\text{componente perpendicular da velocidade}}=\frac{D}{v_x}.â
  • No caso acima, a componente perpendicular da velocidade do barco em relação às margens é simplesmente v_x=v_b (porque a corrente só age na direção y). Portanto
t=\frac{D}{v_b}.
  • Note o ponto-chave: \,t não contém \,v_r. Ou seja, para esse modelo (barco motor apontado perpendicularmente à margem, \mathrm{v_b} medido em relação à água), o tempo de travessia é independente de \mathrm{v_r}.

Passo 5

Interpretação física intuitiva e exemplo numérico para fixar:
  • Intuitivamente: a corrente arrasta o barco na direção do fluxo (faz o barco desembarcar mais rio abaixo), mas não reduz a velocidade com que o barco se aproxima do outro lado quando o motor empurra perpendicularmente — a componente que atravessa é determinada só por v_b.
  • Exemplo numérico rápido: suponha D=100 m e v_b=2 m/s. Então
t=\frac{100}{2}=50\\ \text{s}.
Se a corrente aumentar de v_r=0 para v_r=1 m/s, o barco vai desembarcar mais abaixo (deslocamento paralelo aumenta), mas o tempo continua 50\\ \text{s}.

Passo 6

Observação sobre o caso alternativo (para não ficar com dúvida):
  • Se, por outro lado, \mathrm{v_b} fosse a velocidade do barco medida em relação às margens já (ou seja, já incluísse o efeito da corrente), a decomposição e a dependência mudariam e o tempo poderia depender de \mathrm{v_r} conforme a situação.
  • Também, se o piloto não apontar o motor perpendicularmente à margem mas escolher uma orientação para compensar a corrente e desembarcar exatamente em frente ao ponto de partida, a componente perpendicular de \vec v_{\text{barco/ água}}á teria que ser maior ou menor dependendo de \,v_r e então o tempo poderia passar a depender de \,v_r. Esses são casos mais avançados e não são o cenário típico da alternativa que diz "independente de \mathrm{v_r}".

Resposta

c) independente da velocidade \mathrm{v_r}.

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