Sejam
inteiros. Nos itens a seguir, prove se for verdadeiro e dê um contra-exemplo se for falso.
(b) Se
é primo e
divide
então
divide
.
(b) Se
Passo 1
O que o enunciado pede: provar (ou dar contra‑exemplo) da afirmação "Se
é primo e
divide
então
divide
".\n
Informações dadas que vamos usar: é um número primo e
é um inteiro tal que
(ou seja,
é divisível por
).\n
Pergunta explícita: mostrar se a afirmação é verdadeira; se for, provar passo a passo; se for falsa, fornecer um contra‑exemplo.
Informações dadas que vamos usar:
Pergunta explícita: mostrar se a afirmação é verdadeira; se for, provar passo a passo; se for falsa, fornecer um contra‑exemplo.
Passo 2
Observação útil (ferramenta que vamos usar): a versão básica do que se chama “Lema de Euclides” — se
é primo e
divide o produto
, então
divide
ou
divide
. Vou provar esse lema agora, porque é o coração da demonstração e não podemos usá‑lo sem explicá‑lo.\n
Prova do lema de Euclides (passo a passo):
Prova do lema de Euclides (passo a passo):
- Suponha que
é primo e . Se já terminamos; então suponha que (ou seja, não divide ).\n - Como
é primo, seus únicos divisores positivos são e . Se , isso implica que o maior divisor comum de e é . Em notação: .\n - Teorema de Bézout (uma ferramenta padrão): se
então existem inteiros tais que . Aplicando com e obtemos inteiros tais que
Breve comentário sobre Bézout: esse resultado vem do algoritmo euclidiano (é o fato de que podemos escrever o máximo divisor comum como combinação inteira dos números). Para números pequenos, por exemplo,
e de fato
.\n
4) Multiplique a expressão de Bézout por : obtemos
4) Multiplique a expressão de Bézout por
- Pelo enunciado do lema temos
, logo para algum inteiro . Então é múltiplo de . Também é múltiplo de . Assim o lado esquerdo é múltiplo de . Portanto o lado direito também é múltiplo de , isto é, .\n - Conclusão do lema: se
e então . Assim em todo caso ou . O lema de Euclides está provado.
Passo 3
Agora apliquei o lema ao nosso problema específico. Note que
. Como
, temos
. Pelo lema de Euclides (com
e
) segue que
ou
. Em qualquer dos casos obtemos
.\n
Isso completa a prova: sempre que é primo e
então obrigatoriamente
.
Isso completa a prova: sempre que
Passo 4
Um exemplo concreto para intuir: tome
e
. Então
é divisível por
e de fato
divide
. O argumento que demos garante que não existe caso em que
divide
mas não divide
.\n
Motivação rápida: a propriedade vem do fato de que primos não “se dividem” em fatores não‑triviais — se um primo aparece na fatoração de um produto, ele aparece em pelo menos um dos fatores.
Motivação rápida: a propriedade vem do fato de que primos não “se dividem” em fatores não‑triviais — se um primo aparece na fatoração de um produto, ele aparece em pelo menos um dos fatores.
Resposta
Verdadeiro:
.