Sejam a, b, c inteiros. Nos itens a seguir, prove se for verdadeiro e dê um contra-exemplo se for falso.
(b) Se p é primo e p divide a^{2} então p divide a.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar (ou dar contra‑exemplo) da afirmação "Se p é primo e p divide a^{2} então p divide a".\n
Informações dadas que vamos usar: p é um número primo e a é um inteiro tal que p\mid a^{2} (ou seja, a^{2} é divisível por p).\n
Pergunta explícita: mostrar se a afirmação é verdadeira; se for, provar passo a passo; se for falsa, fornecer um contra‑exemplo.

Passo 2

Observação útil (ferramenta que vamos usar): a versão básica do que se chama “Lema de Euclides” — se p é primo e p divide o produto bc, então p divide b ou p divide c. Vou provar esse lema agora, porque é o coração da demonstração e não podemos usá‑lo sem explicá‑lo.\n
Prova do lema de Euclides (passo a passo):
  1. Suponha que p é primo e p\mid bc. Se p\mid b já terminamos; então suponha que p\nmid b (ou seja, p não divide b).\n
  2. Como p é primo, seus únicos divisores positivos são 1 e p. Se p\nmid b, isso implica que o maior divisor comum de p e b é 1. Em notação: \gcd(p,b)=1.\n
  3. Teorema de Bézout (uma ferramenta padrão): se \gcd(u,v)=1 então existem inteiros x,y tais que xu+ yv = 1. Aplicando com u=p e v=b obtemos inteiros x,y tais que
xp + yb = 1.
Breve comentário sobre Bézout: esse resultado vem do algoritmo euclidiano (é o fato de que podemos escrever o máximo divisor comum como combinação inteira dos números). Para números pequenos, por exemplo, \gcd(3,4)=1 e de fato (-1)\cdot 3 + 1\cdot 4 = 1.\n
4) Multiplique a expressão de Bézout por c: obtemos
xpc + ybc = c.
  1. Pelo enunciado do lema temos p\mid bc, logo bc = p\cdot k para algum inteiro k. Então ybc = y p k é múltiplo de p. Também xpc é múltiplo de p. Assim o lado esquerdo xpc + ybc é múltiplo de p. Portanto o lado direito c também é múltiplo de p, isto é, p\mid c.\n
  2. Conclusão do lema: se p\mid bc e p\nmid b então p\mid c. Assim em todo caso p\mid b ou p\mid c. O lema de Euclides está provado.

Passo 3

Agora apliquei o lema ao nosso problema específico. Note que a^{2}=a\cdot a. Como p\mid a^{2}, temos p\mid (a\cdot a). Pelo lema de Euclides (com b=a e c=a) segue que p\mid a ou p\mid a. Em qualquer dos casos obtemos p\mid a.\n
Isso completa a prova: sempre que p é primo e p\mid a^{2} então obrigatoriamente p\mid a.

Passo 4

Um exemplo concreto para intuir: tome p=3 e a=6. Então a^{2}=36 é divisível por 3 e de fato 3 divide 6. O argumento que demos garante que não existe caso em que p divide a^{2} mas não divide a.\n
Motivação rápida: a propriedade vem do fato de que primos não “se dividem” em fatores não‑triviais — se um primo aparece na fatoração de um produto, ele aparece em pelo menos um dos fatores.

Resposta

Verdadeiro: p\mid a.

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