4 y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime}+5 y=0 ; y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais:
4y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime}+5y=0
y(0)=2,\qquad y'(0)=1
Informações relevantes: a equação é homogênea e de coeficientes constantes e é de ordem três (porque aparece y^{\prime\prime\prime}). Para determinar uma solução única de uma ODE linear de ordem três precisamos de três condições iniciais (valores de y(0),y'(0),y''(0)). Aqui só temos duas condições iniciais, então devemos esperar uma família de soluções com um parâmetro livre (uma constante arbitrária) — a equação é resolvível, mas não podemos determinar uma única solução sem a terceira condição.

Passo 2

Vamos resolver a equação usando a técnica padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes: procurar soluções da forma y=e^{rt}, porque essa forma transforma derivadas em produtos por r e leva a um polinômio característico. Explicando devagar:
  • Se y=e^{rt} então y'=r e^{rt}, y''=r^2 e^{rt}, y'''=r^3 e^{rt}.
  • Substituindo na ODE, e^{rt} é comum e pode ser fatorado; o que sobra é um polinômio em r. As raízes desse polinômio nos dão os expoentes r das soluções exponenciais.

Passo 3

Formamos o polinômio característico substituindo y=e^{rt}:
4r^3 + r + 5 = 0.
Agora procuramos raízes desse polinômio. Testando possíveis raízes inteiras simples (por exemplo r=-1), calculamos:
4(-1)^3 + (-1) + 5 = -4 -1 + 5 = 0,
logo r=-1 é uma raiz.

Passo 4

Como r=-1 é raiz, podemos fatorar o polinômio por (r+1). Fazendo a divisão ou a divisão sintética com coeficientes 4,\;0,\;1,\;5 obtemos o quociente
4r^2 -4r +5.
Portanto
4r^3 + r + 5 = (r+1)(4r^2 -4r +5).

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática 4r^2 -4r +5=0. Calculamos o discriminante:
\Delta = (-4)^2 - 4\cdot 4\cdot 5 = 16 - 80 = -64.
Como \Delta<0, há duas raízes complexas conjugadas. Usando a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{4 \pm \sqrt{-64}}{8} = \frac{4 \pm 8i}{8} = \frac{1}{2} \pm i.
Portanto as raízes do característico são r_1=-1 e r_{2,3}=\tfrac{1}{2}\pm i.

Passo 6

Regra de formação da solução geral: para cada raiz real r temos termo e^{rt}; para cada par de raízes complexas \alpha \pm i\beta temos termos e^{\alpha t}\cos(\beta t) e e^{\alpha t}\sin(\beta t). Aplicando aqui ( \alpha=\tfrac{1}{2}, \beta=1) obtemos a solução geral:
y(t)=C_1 e^{-t} + e^{\tfrac{1}{2}t}\bigl(C_2\cos t + C_3\sin t\bigr),
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias (porque a ODE é de ordem três).

Passo 7

Agora usamos as condições iniciais dadas para relacionar as constantes. Primeiro y(0)=2. Avaliando y(0):
y(0)=C_1 + C_2 = 2.
Então obtemos a equação
C_1 + C_2 = 2. \tag{1}

Passo 8

Precisamos de y'(t) para usar y'(0)=1. Calculamos y'(t) passo a passo.
Derivando C_1 e^{-t} obtemos -C_1 e^{-t}.
Para e^{\tfrac{1}{2}t}\bigl(C_2\cos t + C_3\sin t\bigr) usamos a regra do produto:
\frac{d}{dt}\Bigl(e^{\tfrac{1}{2}t}(C_2\cos t + C_3\sin t)\Bigr) = \tfrac{1}{2}e^{\tfrac{1}{2}t}(C_2\cos t + C_3\sin t) + e^{\tfrac{1}{2}t}(-C_2\sin t + C_3\cos t).
Somando as partes,
y'(t) = -C_1 e^{-t} + e^{\tfrac{1}{2}t}\Bigl(\tfrac{1}{2}C_2\cos t + \tfrac{1}{2}C_3\sin t - C_2\sin t + C_3\cos t\Bigr).

Passo 9

Agora avaliamos y'(0)=1. Em t=0 temos e^{0}=1, \cos0=1, \sin0=0. Assim
y'(0) = -C_1 + \Bigl(\tfrac{1}{2}C_2 + C_3\Bigr) = 1.
Portanto a segunda equação é
- C_1 + \tfrac{1}{2}C_2 + C_3 = 1. \tag{2}

Passo 10

Resolvemos o sistema (1)-(2). Da equação (1) temos C_2 = 2 - C_1. Substituindo em (2):
- C_1 + \tfrac{1}{2}(2 - C_1) + C_3 = 1.
Calculando:
- C_1 + 1 - \tfrac{1}{2}C_1 + C_3 = 1
-\tfrac{3}{2}C_1 + C_3 + 1 = 1
-\tfrac{3}{2}C_1 + C_3 = 0
C_3 = \tfrac{3}{2}C_1.
Logo C_2 = 2 - C_1 e C_3 = \tfrac{3}{2}C_1. Como esperado, sobra um parâmetro livre C_1 (falta a terceira condição inicial para fixá-lo).

Passo 11

Substituindo C_2 e C_3 na solução geral obtemos a família de soluções que satisfaz as duas condições iniciais dadas:
y(t) = C_1 e^{-t} + e^{\tfrac{1}{2}t}\Bigl((2 - C_1)\cos t + \tfrac{3}{2}C_1\sin t\Bigr),
onde C_1 é uma constante arbitrária real (determinar C_1 exigiria o valor de y''(0) ou outra condição adicional). Bom trabalho — você conseguiu até achar a dependência entre as constantes mesmo com condição faltando!

Resposta

y(t)=C_1 e^{-t} + e^{\tfrac{1}{2}t}\Bigl((2 - C_1)\cos t + \tfrac{3}{2}C_1\sin t\Bigr),\quad C_1\in\mathbb{R}

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