O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais:
4y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime}+5y=0
y(0)=2,\qquad y'(0)=1
Informações relevantes: a equação é homogênea e de coeficientes constantes e é de ordem três (porque aparece y^{\prime\prime\prime}). Para determinar uma solução única de uma ODE linear de ordem três precisamos de três condições iniciais (valores de y(0),y'(0),y''(0)). Aqui só temos duas condições iniciais, então devemos esperar uma família de soluções com um parâmetro livre (uma constante arbitrária) — a equação é resolvível, mas não podemos determinar uma única solução sem a terceira condição.
Passo 2
Vamos resolver a equação usando a técnica padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes: procurar soluções da forma y=e^{rt}, porque essa forma transforma derivadas em produtos por r e leva a um polinômio característico. Explicando devagar:
Se y=e^{rt} então y'=r e^{rt}, y''=r^2 e^{rt}, y'''=r^3 e^{rt}.
Substituindo na ODE, e^{rt} é comum e pode ser fatorado; o que sobra é um polinômio em r. As raízes desse polinômio nos dão os expoentes r das soluções exponenciais.
Passo 3
Formamos o polinômio característico substituindo y=e^{rt}:
Como \Delta<0, há duas raízes complexas conjugadas. Usando a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{4 \pm \sqrt{-64}}{8} = \frac{4 \pm 8i}{8} = \frac{1}{2} \pm i.
Portanto as raízes do característico são r_1=-1 e r_{2,3}=\tfrac{1}{2}\pm i.
Passo 6
Regra de formação da solução geral: para cada raiz real r temos termo e^{rt}; para cada par de raízes complexas \alpha \pm i\beta temos termos e^{\alpha t}\cos(\beta t) e e^{\alpha t}\sin(\beta t). Aplicando aqui (\alpha=\tfrac{1}{2}, \beta=1) obtemos a solução geral:
y(t)=C_1 e^{-t} + e^{\tfrac{1}{2}t}\bigl(C_2\cos t + C_3\sin t\bigr),
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias (porque a ODE é de ordem três).
Passo 7
Agora usamos as condições iniciais dadas para relacionar as constantes. Primeiro y(0)=2. Avaliando y(0):
y(0)=C_1 + C_2 = 2.
Então obtemos a equação
C_1 + C_2 = 2. \tag{1}
Passo 8
Precisamos de y'(t) para usar y'(0)=1. Calculamos y'(t) passo a passo.
Derivando C_1 e^{-t} obtemos -C_1 e^{-t}.
Para e^{\tfrac{1}{2}t}\bigl(C_2\cos t + C_3\sin t\bigr) usamos a regra do produto:
\frac{d}{dt}\Bigl(e^{\tfrac{1}{2}t}(C_2\cos t + C_3\sin t)\Bigr) = \tfrac{1}{2}e^{\tfrac{1}{2}t}(C_2\cos t + C_3\sin t) + e^{\tfrac{1}{2}t}(-C_2\sin t + C_3\cos t).
Somando as partes,
y'(t) = -C_1 e^{-t} + e^{\tfrac{1}{2}t}\Bigl(\tfrac{1}{2}C_2\cos t + \tfrac{1}{2}C_3\sin t - C_2\sin t + C_3\cos t\Bigr).
Passo 9
Agora avaliamos y'(0)=1. Em t=0 temos e^{0}=1, \cos0=1, \sin0=0. Assim
onde C_1 é uma constante arbitrária real (determinar C_1 exigiria o valor de y''(0) ou outra condição adicional). Bom trabalho — você conseguiu até achar a dependência entre as constantes mesmo com condição faltando!