Sejam
inteiros. Nos itens a seguir, prove se for verdadeiro e dê um contra-exemplo se for falso.
(c) Se
é primo e
divide
e
então
divide
.
(c) Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão:
- Dados inteiros
. - Temos um número primo
. - Sabemos que
divide (ou seja, ). - Sabemos também que
divide (ou seja, ).
A pergunta é: a afirmação "entãodivide " é verdadeira? Se for, provar; se for falsa, dar um contra-exemplo.
Passo 2
Vamos trabalhar com congruências módulo
, que é uma forma organizada de dizer "divisível por
". A ideia básica que vamos usar é: dizer "
é congruente a
módulo
" significa que
divide
. Em notação, “
” quer dizer
.
Dado que
, escrevemos
Ao elevar ao quadrado, isso implica
Passo 3
Como temos também
, isto é
podemos substituir
na congruência acima e obter
ou seja,
Em linguagem de divisibilidade, isto significa
.
Passo 4
Agora precisamos ligar a informação
a
. Aqui usamos uma propriedade fundamental dos primos: se
é primo e
, então
ou
(lembrada como Lema de Euclides). Aplicando isso com
e
(ou, de forma mais direta, observando a fatoração prima), se
então necessariamente
.
Uma explicação por fatoração: escrevendo a fatoração prima de
como
, temos
. Se um primo
divide
, então
aparece entre os
, logo aparece também na fatoração de
; portanto
.
Passo 5
Concluímos então que, sob as hipóteses dadas (
primo,
e
), sempre segue que
. Não existe contra-exemplo porque a afirmação é verdadeira para todos os inteiros
e todo primo
.
Resposta
Verdadeiro —
divide
.