Sejam a, b, c inteiros. Nos itens a seguir, prove se for verdadeiro e dê um contra-exemplo se for falso.
(c) Se p é primo e p divide a e a^{2}+b^{2} então p divide b.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão:
  • Dados inteiros a,b,c.
  • Temos um número primo p.
  • Sabemos que p divide a (ou seja, p\mid a).
  • Sabemos também que p divide a^{2}+b^{2} (ou seja, p\mid a^{2}+b^{2}).
    A pergunta é: a afirmação "então p divide b" é verdadeira? Se for, provar; se for falsa, dar um contra-exemplo.

Passo 2

Vamos trabalhar com congruências módulo p, que é uma forma organizada de dizer "divisível por p". A ideia básica que vamos usar é: dizer " x é congruente a y módulo p" significa que p divide x-y. Em notação, “ x\equiv y\pmod p” quer dizer p\mid(x-y).
Dado que p\mid a, escrevemos
a\equiv 0\pmod p.
Ao elevar ao quadrado, isso implica
a^{2}\equiv 0^{2}\equiv 0\pmod p.

Passo 3

Como temos também p\mid a^{2}+b^{2}, isto é
a^{2}+b^{2}\equiv 0\pmod p,
podemos substituir a^{2}\equiv 0 na congruência acima e obter
0 + b^{2}\equiv 0\pmod p,
ou seja,
b^{2}\equiv 0\pmod p.
Em linguagem de divisibilidade, isto significa p\mid b^{2}.

Passo 4

Agora precisamos ligar a informação p\mid b^{2} a p\mid b. Aqui usamos uma propriedade fundamental dos primos: se p é primo e p\mid xy, então p\mid x ou p\mid y (lembrada como Lema de Euclides). Aplicando isso com x=b e y=b (ou, de forma mais direta, observando a fatoração prima), se p\mid b^{2}=b\cdot b então necessariamente p\mid b.
Uma explicação por fatoração: escrevendo a fatoração prima de b como b=\prod q_{i}^{e_{i}}, temos b^{2}=\prod q_{i}^{2e_{i}}. Se um primo p divide b^{2}, então p aparece entre os q_{i}, logo aparece também na fatoração de b; portanto p\mid b.

Passo 5

Concluímos então que, sob as hipóteses dadas ( p primo, p\mid a e p\mid a^{2}+b^{2}), sempre segue que p\mid b. Não existe contra-exemplo porque a afirmação é verdadeira para todos os inteiros a,b e todo primo p.

Resposta

Verdadeiro — p divide b.

Exercícios relacionados