Sejam a, b, c inteiros tais que a \leq b e c \leq 0. Mostrar que a c \geq b c.
Conclua, em particular que, se a \geq 0 e b \leq 0 então a b \leq 0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a conclusão:
  • Dados inteiros a,b,c tais que a \leq b e c \leq 0.
  • Pede-se mostrar que a c \geq b c.
  • Em particular, pede concluir que, se a \geq 0 e b \leq 0, então a b \leq 0.
Vou trabalhar exclusivamente com essas hipóteses e provar a desigualdade solicitada, depois deduzir o caso particular.

Passo 2

Interpretação da desigualdade a \leq b em termos de uma diferença não negativa. Como a e b são inteiros e a \leq b, existe um inteiro k tal que
b - a = k \quad\text{com}\quad k \in \mathbb{Z},\; k \geq 0.
Isto é equivalente a escrever
b = a + k.

Passo 3

Multiplico a igualdade b = a + k pelo inteiro c (lembrando que c \leq 0). Obtenho:
b c = (a + k)c = a c + k c.

Passo 4

Análise do termo k c. Como k \geq 0 e c \leq 0, o produto k c é um número menor ou igual a zero:
k c \leq 0.
Somando a c aos dois lados dessa desigualdade (ou observando diretamente na expressão anterior) segue que
a c + k c \leq a c.
Pelo que foi obtido em Passo 3, b c = a c + k c. Portanto
b c \leq a c.
Isto é exatamente
a c \geq b c,
que é a desigualdade que queríamos provar. Note que este argumento inclui o caso c=0 (quando k c=0 e então ac=bc).

Passo 5

Agora a dedução do caso particular. Suponha a \geq 0 e b \leq 0. Tome a' = 0, b' = a e c = b. Então a' \leq b' porque 0 \leq a, e c \leq 0 porque b \leq 0. Aplicando o resultado provado (com a',b',c) obtemos
a' c \geq b' c.
Mas a' c = 0\cdot b = 0 e b' c = a\cdot b. Logo
0 \geq a b,
ou seja,
a b \leq 0,
que era exatamente o que precisávamos concluir no caso particular.

Resposta

Para inteiros a,b,c com a\le b e c\le 0 temos a c \geq b c.
Em particular, se a\ge 0 e b\le 0 então a b \le 0.

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