Sejam
inteiros tais que
e
. Mostrar que
.
Conclua, em particular que, se
e
então
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a conclusão:
- Dados inteiros
tais que e . - Pede-se mostrar que
. - Em particular, pede concluir que, se
e , então .
Vou trabalhar exclusivamente com essas hipóteses e provar a desigualdade solicitada, depois deduzir o caso particular.
Passo 2
Interpretação da desigualdade
em termos de uma diferença não negativa. Como
e
são inteiros e
, existe um inteiro
tal que
Isto é equivalente a escrever
Passo 3
Multiplico a igualdade
pelo inteiro
(lembrando que
). Obtenho:
Passo 4
Análise do termo
. Como
e
, o produto
é um número menor ou igual a zero:
Somando
aos dois lados dessa desigualdade (ou observando diretamente na expressão anterior) segue que
Pelo que foi obtido em Passo 3,
. Portanto
Isto é exatamente
que é a desigualdade que queríamos provar. Note que este argumento inclui o caso
(quando
e então
).
Passo 5
Agora a dedução do caso particular. Suponha
e
. Tome
,
e
. Então
porque
, e
porque
. Aplicando o resultado provado (com
) obtemos
Mas
e
. Logo
ou seja,
que era exatamente o que precisávamos concluir no caso particular.
Resposta
Para inteiros
com
e
temos
.
Em particular, se e
então
.
Em particular, se