Sejam
. Mostrar que
.
Passo 1
O enunciado dá dois inteiros
e pede para mostrar a equivalência
Ou seja: mostrar que se
então
, e recíproco: se
então
. As únicas informações dadas são que
e
são inteiros.
Passo 2
Lembretes e definições úteis (explicados de forma direta):
- Dizemos que
quando a diferença é um número inteiro não negativo. Em símbolos: . Isso é a forma padrão de pensar em ordem nos inteiros. - A operação de tomar o oposto (aditivo inverso) de um inteiro é a função
. Ela satisfaz, para quaisquer inteiros ,
Esse cálculo simples será a base do argumento.
- Observação prática: somar o mesmo inteiro em ambos os lados de uma desigualdade preserva a desigualdade. Justificativa rápida: se
então para qualquer inteiro .
Passo 3
Prova da implicação direta:
.
Suponha
. Pela definição do passo anterior, isso significa que
Agora calcule a diferença
. Usando a identidade do oposto:
Como
temos
. Isso, novamente pela definição de ordem, é exatamente a afirmação
. Logo a implicação direta está demonstrada.
Passo 4
Prova da implicação recíproca:
.
Suponha
. Pela definição, isso significa
Mas igualidade algébrica dá
Portanto
, o que, pela definição de ordem, equivale a
. Assim a implicação recíproca está demonstrada.
Passo 5
Comentário didático e intuição (para fixar e usar na prova):
- O que fizemos foi usar apenas álgebra elementar e a definição de
em : a desigualdade é sobre diferenças não negativas. - Uma forma curta e comum de enunciar o fato é: “multiplicar uma desigualdade por
inverte o sinal da desigualdade”. Aqui mostramos isso com cálculo explícito, sem assumir o resultado de antemão. - Exemplo numérico rápido para checar a intuição: com
e temos . Tomando opostos, e , de fato .