Sejam a, b \in \mathbb{Z}. Mostrar que a \leq b \Longleftrightarrow-a \geq-b.

Passo 1

O enunciado dá dois inteiros \,a,b\in\mathbb{Z}\, e pede para mostrar a equivalência
a \leq b \Longleftrightarrow -a \geq -b.
Ou seja: mostrar que se \,a\leq b\, então \,-a\geq -b\,, e recíproco: se \,-a\geq -b\, então \,a\leq b\,. As únicas informações dadas são que a e b são inteiros.

Passo 2

Lembretes e definições úteis (explicados de forma direta):
  • Dizemos que \,a\leq b\, quando a diferença \,b-a\, é um número inteiro não negativo. Em símbolos: \,a\leq b\iff b-a\geq 0\,. Isso é a forma padrão de pensar em ordem nos inteiros.
  • A operação de tomar o oposto (aditivo inverso) de um inteiro é a função x\mapsto -x. Ela satisfaz, para quaisquer inteiros x,y,
(-x)-(-y)=-(x)+y=y-x.
Esse cálculo simples será a base do argumento.
  • Observação prática: somar o mesmo inteiro em ambos os lados de uma desigualdade preserva a desigualdade. Justificativa rápida: se b-a\geq 0 então (b+t)-(a+t)=b-a\geq 0 para qualquer inteiro t.

Passo 3

Prova da implicação direta: \,a\leq b \Rightarrow -a\geq -b.
Suponha \,a\leq b. Pela definição do passo anterior, isso significa que
b-a\geq 0.
Agora calcule a diferença ( -a)-(-b). Usando a identidade do oposto:
(-a)-(-b)=b-a.
Como b-a\geq 0 temos ( -a)-(-b)\geq 0. Isso, novamente pela definição de ordem, é exatamente a afirmação -a\geq -b. Logo a implicação direta está demonstrada.

Passo 4

Prova da implicação recíproca: -a\geq -b \Rightarrow a\leq b.
Suponha -a\geq -b. Pela definição, isso significa
(-a)-(-b)\geq 0.
Mas igualidade algébrica dá
(-a)-(-b)=b-a.
Portanto b-a\geq 0, o que, pela definição de ordem, equivale a a\leq b. Assim a implicação recíproca está demonstrada.

Passo 5

Comentário didático e intuição (para fixar e usar na prova):
  • O que fizemos foi usar apenas álgebra elementar e a definição de \leq em \mathbb{Z}: a desigualdade é sobre diferenças não negativas.
  • Uma forma curta e comum de enunciar o fato é: “multiplicar uma desigualdade por -1 inverte o sinal da desigualdade”. Aqui mostramos isso com cálculo explícito, sem assumir o resultado de antemão.
  • Exemplo numérico rápido para checar a intuição: com a=2 e b=5 temos 2\leq 5. Tomando opostos, -2 e -5, de fato -2\geq -5.

Resposta

\,a \leq b \Longleftrightarrow -a \geq -b\,

Exercícios relacionados