Sejam A, B e C matrizes invertíveis de tamanho n times n. Encontre a matriz M, em função das matrizes A, B e C nas equações abaixo:
A B^-1 M^-1 B=C

Passo 1

O enunciado apresenta três matrizes invertíveis A,B,C de ordem n e a equação
A,B^-1,M^-1,B = C
Queremos isolar M em função de A,B,C. Para isso usaremos as propriedades de inversa de produto de matrizes, em particular
(XY)^-1 = Y^-1X^-1

Passo 2

Multiplicamos a equação original à esquerda por (A,B^-1)^-1. Como
(A,B^-1)^-1 = B,(A)^-1,
temos
B,A^-1l(A,B^-1,M^-1,Br) = B,A^-1C Longrightarrow M^-1,B = B,A^-1C

Passo 3

Agora multiplicamos à direita por B^-1 para isolar M^-1:
M^-1 = B,A^-1C,B^-1

Passo 4

Por fim, invertendo ambos os lados e usando (XYZ)^-1=Z^-1Y^-1X^-1, obtemos
M = l(B,A^-1C,B^-1r)^-1 = l(B^-1r)^-1,C^-1,l(A^-1r)^-1,B^-1 = B,C^-1,A,B^-1

Resposta

M = B,C^-1,A,B^-1

Exercícios relacionados